Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14539
2020-12-12 
Тело массой $M = 1 кг$ бросают под углом $\alpha$ к горизонту. Определите этот угол, если известно, что кинетическая энергия тела в точке максимального подъема составляет 25% от его кинетической энергии в момент бросания, а потенциальная энергия относительно точки бросания $E_{п} = 24 Дж$. Определите дальность полета н максимальную высоту подъема этого тела.
Решение:
Кинетическая энергия в момент бросания $E_{0} = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, следовательно, кинетическая энергия равна $E_{к} = \frac{mv_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{2}$. Из условия задачи эта энергия равна 25% от начальной энергии, т. е. $\frac{mv_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{2} = 0,25 \frac{mv_{0}^{2} }{2}$, откуда получаем $\cos \alpha = \frac{1}{2}, \alpha = 60^{ \circ}$. Потенциальная энергия относительно точки бросания равна $E_{п} = mgH$, где $H$ - максимальная высота подъема, определяемая по формуле $H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Следовательно, $v_{0}^{2} = \frac{2gH}{ \sin^{2} \alpha }$. Высоту $H$ выразим из соотношения для потенциальной энергии: $H = \frac{E_{п} }{mg}$. Начальная скорость определяется из формулы $v_{0}^{2} = \frac{2E_{п}}{(m \sin^{2} \alpha )}$. Дальность полета $L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g}$. Представляя выражение для квадрата начальной скорости, получим:
$L = \frac{2E_{п} \sin 2 \alpha }{mg \sin^{2} \alpha } = \frac{4E_{п} ctg \alpha }{mg}$.
Проверим размерность:
$[L] = \frac{Дж \cdot с^{2}}{кг \cdot м} = \frac{кг \cdot м^{2} \cdot с^{2}}{с^{2} \cdot кг \cdot м } = м$;
$[H] = \frac{Дж \cdot с^{2}}{кг \cdot м} = \frac{кг \cdot м^{2} \cdot с^{2}}{кг \cdot м \cdot с^{2} } = м$;
Предположим, вы забыли соотношения, связывающие дальность полета и максимальную высоту полета с начальной скоростью. Эти соотношения легко получить. Выберем систему координат, связанную с Землей, начало координат в точке бросания, ось ОY вертикально вверх, ось ОХ горизонтально. Запишем уравнения движения по этим осям. Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз. По оси ОХ движение равномерное.
$\begin{cases} x = v_{0} t \cos \alpha, \\ y = v_{0}t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}. \end{cases}$
Приравняем у к нулю, получим из уравнения $gt^{2} - 2v_{0}t \sin \alpha = 0$ время всего полета. Из симметрии траектории движения (параболы) легко заключить, что время подъема равно времени падения и равно $\frac{1}{2}$ всего времени полета: $t_{1} = t_{2} = \frac{1}{2}t = \frac{1}{2} \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g}$. Подставив время всего движения в уравнение $x(t)$, получим дальность полета: $L = \frac{v_{0}^{2} 2 \sin \alpha \cos \alpha }{g} = \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha$.
Подставив время подъема в выражение для $y(t)$, получим максимальную высоту подъема: $H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{g}$.
Последнее соотношение можно получить проще: воспользуйтесь формулой для свободного падения с высоты $H = \frac{gt^{2} }{2}$, подставьте в эту формулу время падения.
Хочется заметить еще раз: необязательно помнить все соотношения, надо помнить основные соотношения и понятия, а остальные уметь выводить!
Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{2}, \alpha = 60^{ \circ}; H = \frac{E_{п} }{mg}, H \approx 2,4 м; L = \frac{4E_{п} ctg \alpha }{mg}, L \approx 5,7 м$.
Тело массой $M = 1 кг$ бросают под углом $\alpha$ к горизонту. Определите этот угол, если известно, что кинетическая энергия тела в точке максимального подъема составляет 25% от его кинетической энергии в момент бросания, а потенциальная энергия относительно точки бросания $E_{п} = 24 Дж$. Определите дальность полета н максимальную высоту подъема этого тела.
Решение:
Кинетическая энергия в момент бросания $E_{0} = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, следовательно, кинетическая энергия равна $E_{к} = \frac{mv_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{2}$. Из условия задачи эта энергия равна 25% от начальной энергии, т. е. $\frac{mv_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }{2} = 0,25 \frac{mv_{0}^{2} }{2}$, откуда получаем $\cos \alpha = \frac{1}{2}, \alpha = 60^{ \circ}$. Потенциальная энергия относительно точки бросания равна $E_{п} = mgH$, где $H$ - максимальная высота подъема, определяемая по формуле $H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Следовательно, $v_{0}^{2} = \frac{2gH}{ \sin^{2} \alpha }$. Высоту $H$ выразим из соотношения для потенциальной энергии: $H = \frac{E_{п} }{mg}$. Начальная скорость определяется из формулы $v_{0}^{2} = \frac{2E_{п}}{(m \sin^{2} \alpha )}$. Дальность полета $L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha}{g}$. Представляя выражение для квадрата начальной скорости, получим:
$L = \frac{2E_{п} \sin 2 \alpha }{mg \sin^{2} \alpha } = \frac{4E_{п} ctg \alpha }{mg}$.
Проверим размерность:
$[L] = \frac{Дж \cdot с^{2}}{кг \cdot м} = \frac{кг \cdot м^{2} \cdot с^{2}}{с^{2} \cdot кг \cdot м } = м$;
$[H] = \frac{Дж \cdot с^{2}}{кг \cdot м} = \frac{кг \cdot м^{2} \cdot с^{2}}{кг \cdot м \cdot с^{2} } = м$;
Предположим, вы забыли соотношения, связывающие дальность полета и максимальную высоту полета с начальной скоростью. Эти соотношения легко получить. Выберем систему координат, связанную с Землей, начало координат в точке бросания, ось ОY вертикально вверх, ось ОХ горизонтально. Запишем уравнения движения по этим осям. Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз. По оси ОХ движение равномерное.
$\begin{cases} x = v_{0} t \cos \alpha, \\ y = v_{0}t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}. \end{cases}$
Приравняем у к нулю, получим из уравнения $gt^{2} - 2v_{0}t \sin \alpha = 0$ время всего полета. Из симметрии траектории движения (параболы) легко заключить, что время подъема равно времени падения и равно $\frac{1}{2}$ всего времени полета: $t_{1} = t_{2} = \frac{1}{2}t = \frac{1}{2} \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g}$. Подставив время всего движения в уравнение $x(t)$, получим дальность полета: $L = \frac{v_{0}^{2} 2 \sin \alpha \cos \alpha }{g} = \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha$.
Подставив время подъема в выражение для $y(t)$, получим максимальную высоту подъема: $H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{g}$.
Последнее соотношение можно получить проще: воспользуйтесь формулой для свободного падения с высоты $H = \frac{gt^{2} }{2}$, подставьте в эту формулу время падения.
Хочется заметить еще раз: необязательно помнить все соотношения, надо помнить основные соотношения и понятия, а остальные уметь выводить!
Ответ: $\cos \alpha = \frac{1}{2}, \alpha = 60^{ \circ}; H = \frac{E_{п} }{mg}, H \approx 2,4 м; L = \frac{4E_{п} ctg \alpha }{mg}, L \approx 5,7 м$.
