Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14536
2020-12-06 
В конструкции специализированного робота используется акселерометр (датчик ускорения) следующей конструкции: в гладкой герметичной горизонтальной трубке, заполненной газом, находится небольшой поршень. В отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки. При появлении продольного ускорения поршень смещается.
На испытаниях робот двигался с ускорением $a = 1,5 м/с^{2}$, а температура газа равнялась $t \approx 10^{ \circ} С$, и при этом смещение поршня составило $x = 3,8 мм$. В один из моментов работы робота смещение поршня равнялось $x^{ \prime } = 5,6 мм$ при температуре газа $t^{ \prime} \approx 27^{ \circ} С$. С каким продольным ускорением двигался робот? Ответ нужно получить с ошибкой менее 2%.
Решение:
Поскольку в отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки, то в трубке по разные стороны от поршня находится одинаковое количество газа $\nu$. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа в каждой из частей трубки, в которой поршень смещен от середины на $x$ при температуре $T$: $p_{1}S \left ( \frac{L}{2} - x \right ) = p_{2}S \left ( \frac{L}{2} + x \right ) = \nu RT$ (здесь $S$ - площадь поперечного сечения трубки). Дополним их уравнением движения поршня массой $m$, движущегося вместе с трубкой с ускорением $a$: $ma = p_{1}S - p_{2}S$. Выразив силы давления из первых двух соотношений и подставив их в третье, получим связь ускорения и смещения:
$ma = \frac{2 \nu RT}{L - 2x} - \frac{2 \nu RT}{L + 2x} \Rightarrow \frac{8x}{L^{2} - 4x^{2} } = \frac{m}{ \nu RT} a$.
При указанных в условиях величинах ускорений и температурах, близких к нормальной, смешения небольшого по массе поршня должны быть малы по сравнению с длиной трубки ($x \ll L$). Поэтому в знаменателе можно пренебречь $4x^{2}$ по сравнению с $L^{2}$, и тогда $x \approx \frac{mL^{2} }{8 \nu R} \frac{a}{T}$. Например, если давление в трубке близко к нормальному атмосферному, а масса поршня равна 100 г при площади $1 см^{2}$ (то есть он весьма тяжелый), то для создания ускорения в $1 м/с^{2}$ достаточно, чтобы разность давлений составляла 1% от равновесного давления. Того же порядка должна быть и относительная разность объемов, тогда $\frac{4x^{2} }{L^{2} } \approx 10^{-4}$! Значит, точность полученной формулы при разумных значениях параметров акселерометра значительно лучше требуемой. Таким образом, для разных значений температуры и ускорения $\frac{x^{ \prime} }{x} = \frac{T}{T^{ \prime} } \frac{a^{ \prime} }{a} \Rightarrow a^{ \prime} = \frac{T^{ \prime}x^{ \prime} }{Tx} a \approx 2,33 м/с$. В вычислениях округление производим с учетом требуемой точности.
Ответ: $a^{ \prime} = \frac{T^{ \prime}x^{ \prime} }{Tx} a \approx 2,33 м/с^{2}$.
В конструкции специализированного робота используется акселерометр (датчик ускорения) следующей конструкции: в гладкой герметичной горизонтальной трубке, заполненной газом, находится небольшой поршень. В отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки. При появлении продольного ускорения поршень смещается.
На испытаниях робот двигался с ускорением $a = 1,5 м/с^{2}$, а температура газа равнялась $t \approx 10^{ \circ} С$, и при этом смещение поршня составило $x = 3,8 мм$. В один из моментов работы робота смещение поршня равнялось $x^{ \prime } = 5,6 мм$ при температуре газа $t^{ \prime} \approx 27^{ \circ} С$. С каким продольным ускорением двигался робот? Ответ нужно получить с ошибкой менее 2%.
Решение:
Поскольку в отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки, то в трубке по разные стороны от поршня находится одинаковое количество газа $\nu$. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа в каждой из частей трубки, в которой поршень смещен от середины на $x$ при температуре $T$: $p_{1}S \left ( \frac{L}{2} - x \right ) = p_{2}S \left ( \frac{L}{2} + x \right ) = \nu RT$ (здесь $S$ - площадь поперечного сечения трубки). Дополним их уравнением движения поршня массой $m$, движущегося вместе с трубкой с ускорением $a$: $ma = p_{1}S - p_{2}S$. Выразив силы давления из первых двух соотношений и подставив их в третье, получим связь ускорения и смещения:
$ma = \frac{2 \nu RT}{L - 2x} - \frac{2 \nu RT}{L + 2x} \Rightarrow \frac{8x}{L^{2} - 4x^{2} } = \frac{m}{ \nu RT} a$.
При указанных в условиях величинах ускорений и температурах, близких к нормальной, смешения небольшого по массе поршня должны быть малы по сравнению с длиной трубки ($x \ll L$). Поэтому в знаменателе можно пренебречь $4x^{2}$ по сравнению с $L^{2}$, и тогда $x \approx \frac{mL^{2} }{8 \nu R} \frac{a}{T}$. Например, если давление в трубке близко к нормальному атмосферному, а масса поршня равна 100 г при площади $1 см^{2}$ (то есть он весьма тяжелый), то для создания ускорения в $1 м/с^{2}$ достаточно, чтобы разность давлений составляла 1% от равновесного давления. Того же порядка должна быть и относительная разность объемов, тогда $\frac{4x^{2} }{L^{2} } \approx 10^{-4}$! Значит, точность полученной формулы при разумных значениях параметров акселерометра значительно лучше требуемой. Таким образом, для разных значений температуры и ускорения $\frac{x^{ \prime} }{x} = \frac{T}{T^{ \prime} } \frac{a^{ \prime} }{a} \Rightarrow a^{ \prime} = \frac{T^{ \prime}x^{ \prime} }{Tx} a \approx 2,33 м/с$. В вычислениях округление производим с учетом требуемой точности.
Ответ: $a^{ \prime} = \frac{T^{ \prime}x^{ \prime} }{Tx} a \approx 2,33 м/с^{2}$.
