Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14534
2020-12-06 
Робот находится на площадке в форме квадрата со стороной $a = 12 м$. В трех вершинах квадрата расположены лампы разных цветов, а робот снабжен тремя фотодатчиками, настроенными на эти же цвета (см. рисунок). Датчики настроены так, что при нахождении робота на расстоянии $a = 12 м$ от любой из ламп ток соответствующего датчика равен $I_{0} = 6 мА$.
По току трех датчиков в текущем положении программа робота определяет его положение на поле и направляет робота по кратчайшему пути в угол поля А со скоростью $v = 1 м/с$.
За какое время робот достигнет А из положения, в котором токи датчиков равны $I_{1} = 7,5 мА, I_{2} = 30 мА$ и $I_{3} = 15 мА$?
Решение:
Квадрат расстояния от каждой из ламп до робота обратно пропорционален току соответствующего датчика, то есть $r_{1}^{2} = a^{2} \frac{I_{0} }{I_{1} }, r_{2}^{2} = a^{2} \frac{I_{0} }{I_{2} }$ и $r_{3}^{2} = a^{2} \frac{I_{0} }{I_{3} }$.
С другой стороны, эти квадраты расстояний можно с помощью теоремы Пифагора выразить через декартовы координаты робота относительно угла А. Если ось x направить от угла А к третьей лампочке, а ось у - к первой, совместив начало координат с углом А, то квадрат расстояния от первой лампы до робота $r_{1}^{2} = x^{2} + (a - y)^{2} = x^{2} + y^{2} + a^{2} - 2ay$.
Аналогично $r_{2}^{2} = (a - x)^{2} + (a - y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2a^{2} - 2a(x + y)$ и также $r_{3}^{2} = (a - x)^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2} + a^{2} - 2ax$. Из этих уравнений выражаем:
$\begin{cases} x = \frac{r_{1}^{2} - r_{2}^{2} + a^{2} }{2a} = \frac{a}{2} \left ( 1 + \frac{I_{0} }{I_{1} } - \frac{I_{0} }{I_{2} } \right ) = 9,6 м \\ y = \frac{r_{3}^{2} - r_{2}^{2} + a^{2} }{2a} = \frac{a}{2} \left ( 1 + \frac{I_{0} }{I_{3} } - \frac{I_{0} }{I_{2} } \right ) = 7,2 м. \end{cases}$
Значит, робот находится от угла A на расстоянии $s = \sqrt{x^{2} + y^{2} } = 12 м$.
Время достижения этого угла площадки $t = \frac{s}{v} = 12 с$.
Ответ: за время $t = 12 с$.
Робот находится на площадке в форме квадрата со стороной $a = 12 м$. В трех вершинах квадрата расположены лампы разных цветов, а робот снабжен тремя фотодатчиками, настроенными на эти же цвета (см. рисунок). Датчики настроены так, что при нахождении робота на расстоянии $a = 12 м$ от любой из ламп ток соответствующего датчика равен $I_{0} = 6 мА$.
По току трех датчиков в текущем положении программа робота определяет его положение на поле и направляет робота по кратчайшему пути в угол поля А со скоростью $v = 1 м/с$.
За какое время робот достигнет А из положения, в котором токи датчиков равны $I_{1} = 7,5 мА, I_{2} = 30 мА$ и $I_{3} = 15 мА$?
Решение:
Квадрат расстояния от каждой из ламп до робота обратно пропорционален току соответствующего датчика, то есть $r_{1}^{2} = a^{2} \frac{I_{0} }{I_{1} }, r_{2}^{2} = a^{2} \frac{I_{0} }{I_{2} }$ и $r_{3}^{2} = a^{2} \frac{I_{0} }{I_{3} }$.
С другой стороны, эти квадраты расстояний можно с помощью теоремы Пифагора выразить через декартовы координаты робота относительно угла А. Если ось x направить от угла А к третьей лампочке, а ось у - к первой, совместив начало координат с углом А, то квадрат расстояния от первой лампы до робота $r_{1}^{2} = x^{2} + (a - y)^{2} = x^{2} + y^{2} + a^{2} - 2ay$.
Аналогично $r_{2}^{2} = (a - x)^{2} + (a - y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2a^{2} - 2a(x + y)$ и также $r_{3}^{2} = (a - x)^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2} + a^{2} - 2ax$. Из этих уравнений выражаем:
$\begin{cases} x = \frac{r_{1}^{2} - r_{2}^{2} + a^{2} }{2a} = \frac{a}{2} \left ( 1 + \frac{I_{0} }{I_{1} } - \frac{I_{0} }{I_{2} } \right ) = 9,6 м \\ y = \frac{r_{3}^{2} - r_{2}^{2} + a^{2} }{2a} = \frac{a}{2} \left ( 1 + \frac{I_{0} }{I_{3} } - \frac{I_{0} }{I_{2} } \right ) = 7,2 м. \end{cases}$
Значит, робот находится от угла A на расстоянии $s = \sqrt{x^{2} + y^{2} } = 12 м$.
Время достижения этого угла площадки $t = \frac{s}{v} = 12 с$.
Ответ: за время $t = 12 с$.
