Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14532
2020-12-06 
Вам необходимо изучить движение следующего механического устройства: три одинаковых массивных шарика прикреплены к концам и середине легкого жесткого стержня. Длина стержня $L = 1,2 м$. Крайние шарики могут без трения скользить по вертикальной и горизонтальной направляющим (см. рисунок). Средний шарик шарнирно соединен с легким жестким стержнем вдвое меньшей длины.
Второй конец этого стержня прикреплен (также с помощью шарнира) к перекрестью направляющих. Изначально стержень располагают вдоль вертикальной направляющей и отпускают без начальной скорости. Трения нигде нет, крайние шарики не отрываются от направляющих и не застревают в них. По какой траектории будет двигаться средний шарик? Куда будет направлена его скорость в тот момент, когда длинный стержень будет проходить положение, в котором он составляет $45^{ \circ}$ с горизонтом? Найдите величину этой скорости. Ускорение свободного падения $g \approx 10 м/с^{2}$.
Решение:
Расстояние между средним шариком и перекрестьем направляющих все время остается постоянным (равным половине $L$). Поэтому ясно, что средний шарик движется по окружности радиуса $L/2$. Его скорость в любой момент времени направлена по касательной к этой окружности, и в момент, когда длинный стержень будет проходить положение, в котором он составляет $45^{ \circ}$ с горизонтом, эта скорость будет направлена вдоль стержня. Пусть ее величина в этот момент равна $v$.
Так как длина стержня не должна изменяться, то проекции скоростей шариков на стержень должны быть одинаковы, поэтому скорости крайних шариков в этот момент одинаковы и равны $v \sqrt{2}$. Следовательно, кинетическая энергия системы в этот момент времени $E_{к} = \frac{mv^{2} }{2} + 2 \frac{m (v \sqrt{2} )^{2} }{2} = \frac{5mv^{2} }{2}$. Так как эта энергия появилась из-за убыли потенциальной энергии верхнего и среднего шариков в поле тяжести Земли - $\Delta E_{П} = mg \left ( L - \frac{L}{ \sqrt{2} } \right ) + mg \left ( \frac{L}{2} - \frac{L}{2 \sqrt{2} } \right ) = \frac{3mgL}{ \sqrt{2} } ( \sqrt{2} - 1 )$, то $\frac{5mv^{2} }{2} = \frac{3mgL}{ \sqrt{2} } ( \sqrt{2} - 1 )$, и из этого соотношения находим, что $v = \sqrt{ \frac{3 (2 - \sqrt{2} ) }{5} gL } \approx 2,05 м/с$.
Ответ: средний шарик движется по окружности радиуса $L/2$, в указанный момент времени его скорость направлена вниз вдоль длинного стержня, а ее величина $v = \sqrt{ \frac{3 (2 - \sqrt{2} ) }{5} gL } \approx 2,05 м/с$.
Вам необходимо изучить движение следующего механического устройства: три одинаковых массивных шарика прикреплены к концам и середине легкого жесткого стержня. Длина стержня $L = 1,2 м$. Крайние шарики могут без трения скользить по вертикальной и горизонтальной направляющим (см. рисунок). Средний шарик шарнирно соединен с легким жестким стержнем вдвое меньшей длины.
Второй конец этого стержня прикреплен (также с помощью шарнира) к перекрестью направляющих. Изначально стержень располагают вдоль вертикальной направляющей и отпускают без начальной скорости. Трения нигде нет, крайние шарики не отрываются от направляющих и не застревают в них. По какой траектории будет двигаться средний шарик? Куда будет направлена его скорость в тот момент, когда длинный стержень будет проходить положение, в котором он составляет $45^{ \circ}$ с горизонтом? Найдите величину этой скорости. Ускорение свободного падения $g \approx 10 м/с^{2}$.
Решение:
Расстояние между средним шариком и перекрестьем направляющих все время остается постоянным (равным половине $L$). Поэтому ясно, что средний шарик движется по окружности радиуса $L/2$. Его скорость в любой момент времени направлена по касательной к этой окружности, и в момент, когда длинный стержень будет проходить положение, в котором он составляет $45^{ \circ}$ с горизонтом, эта скорость будет направлена вдоль стержня. Пусть ее величина в этот момент равна $v$.
Так как длина стержня не должна изменяться, то проекции скоростей шариков на стержень должны быть одинаковы, поэтому скорости крайних шариков в этот момент одинаковы и равны $v \sqrt{2}$. Следовательно, кинетическая энергия системы в этот момент времени $E_{к} = \frac{mv^{2} }{2} + 2 \frac{m (v \sqrt{2} )^{2} }{2} = \frac{5mv^{2} }{2}$. Так как эта энергия появилась из-за убыли потенциальной энергии верхнего и среднего шариков в поле тяжести Земли - $\Delta E_{П} = mg \left ( L - \frac{L}{ \sqrt{2} } \right ) + mg \left ( \frac{L}{2} - \frac{L}{2 \sqrt{2} } \right ) = \frac{3mgL}{ \sqrt{2} } ( \sqrt{2} - 1 )$, то $\frac{5mv^{2} }{2} = \frac{3mgL}{ \sqrt{2} } ( \sqrt{2} - 1 )$, и из этого соотношения находим, что $v = \sqrt{ \frac{3 (2 - \sqrt{2} ) }{5} gL } \approx 2,05 м/с$.
Ответ: средний шарик движется по окружности радиуса $L/2$, в указанный момент времени его скорость направлена вниз вдоль длинного стержня, а ее величина $v = \sqrt{ \frac{3 (2 - \sqrt{2} ) }{5} gL } \approx 2,05 м/с$.
