Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14531
2020-12-06 
Два кубика с длинами рёбер $3a$ и $a$ и общим центром делят пространство на три области. Область внутри маленького кубика равномерно заряжена по объёму электрическим зарядом с плотностью $- \rho_{1}$ ($\rho_{1} > 0$), пространство между поверхностями маленького и большого кубиков равномерно заряжено с объёмной плотностью заряда $+ \rho_{2}$ ($\rho_{2} > 0$), вне большого кубика электрических зарядов нет. Найдите отношение объёмных плотностей заряда $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}}$, при котором потенциал в центре кубиков будет равен потенциалу бесконечно удаленной точки, то есть нулю.
Решение:
Из соображений размерности следует, что потенциал относительно бесконечно удаленной точки в центре равномерно заряженного по объёму кубика с длиной ребра $a$ равен: $\phi = \gamma \frac{q}{a} = \gamma \frac{ \rho a^{3}}{a} = \gamma \rho a^{2}$, где $\gamma$ - коэффициент пропорциональности, который зависит только геометрии системы (этот коэффициент одинаков для всех кубов). Пусть $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} = x$. Тогда нашу систему зарядов можно представить, как результат наложения друг на друга кубика с длиной ребра $3a$, заряженного с плотностью $+ \rho_{2}$, и кубика с длиной ребра $a$, заряженного с плотностью $-(x + 1) \rho_{2}$. Тогда потенциал в центре двух таких кубиков равен:
$\gamma \rho_{2} \cdot 9 a^{2} - \gamma (x + 1) \rho_{2}a^{2} = 0$
Отсюда получаем, что $x = \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } = 8$.
Ответ: потенциал в центре кубиков будет равен потенциалу бесконечно удаленной точки при $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} = 8$.
Два кубика с длинами рёбер $3a$ и $a$ и общим центром делят пространство на три области. Область внутри маленького кубика равномерно заряжена по объёму электрическим зарядом с плотностью $- \rho_{1}$ ($\rho_{1} > 0$), пространство между поверхностями маленького и большого кубиков равномерно заряжено с объёмной плотностью заряда $+ \rho_{2}$ ($\rho_{2} > 0$), вне большого кубика электрических зарядов нет. Найдите отношение объёмных плотностей заряда $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}}$, при котором потенциал в центре кубиков будет равен потенциалу бесконечно удаленной точки, то есть нулю.
Решение:
Из соображений размерности следует, что потенциал относительно бесконечно удаленной точки в центре равномерно заряженного по объёму кубика с длиной ребра $a$ равен: $\phi = \gamma \frac{q}{a} = \gamma \frac{ \rho a^{3}}{a} = \gamma \rho a^{2}$, где $\gamma$ - коэффициент пропорциональности, который зависит только геометрии системы (этот коэффициент одинаков для всех кубов). Пусть $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} = x$. Тогда нашу систему зарядов можно представить, как результат наложения друг на друга кубика с длиной ребра $3a$, заряженного с плотностью $+ \rho_{2}$, и кубика с длиной ребра $a$, заряженного с плотностью $-(x + 1) \rho_{2}$. Тогда потенциал в центре двух таких кубиков равен:
$\gamma \rho_{2} \cdot 9 a^{2} - \gamma (x + 1) \rho_{2}a^{2} = 0$
Отсюда получаем, что $x = \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } = 8$.
Ответ: потенциал в центре кубиков будет равен потенциалу бесконечно удаленной точки при $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} = 8$.
