Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14523
2020-12-06 
В устройстве, показанном на рисунке, груз массой $M = 0,2 кг$ подвешен к середине стержня, а стержень расположен горизонтально. Блок, нить, пружины и стержень невесомы, нить нерастяжима. Коэффициенты жёсткости пружин $k_{1} = 30 Н/м, k_{2} = 20 Н/м$. Стержень смещают вертикально вниз на небольшое расстояние и отпускают. Определите период $T$ возникших после этого малых вертикальных колебаний груза. Считайте, что стержень остаётся в процессе колебаний всё время горизонтальным.
Решение:
В положении равновесия сила упругости, возникающая в каждой из пружин, равна $\frac{Mg}{2}$. Поэтому удлинения пружин в положении равновесия $\Delta y_{1} = \frac{Mg}{2k_{1} }, \Delta y_{2} = \frac{Mg}{2k_{2} }$, где $g$ - ускорение свободного падения.
Пусть в некоторый момент времени горизонтальный стержень опустится на величину $y$. Из-за нерастяжимости нити верхние концы пружин сместятся при этом в разные стороны - левой пружины на величину $\Delta y$ вниз, а правой - на столько же вверх (поскольку $k_{1} > k_{2}$). Сила натяжения нити слева и справа одинакова, поэтому $k_{1} (y - \Delta y + \Delta y_{1} ) = k_{2} (y + \Delta y + \Delta y_{2})$. С учетом полученных выше выражений для $\Delta y_{1}$ и $\Delta y_{2}$ отсюда следует, что $\Delta y = y \frac{k_{1} - k_{2} }{k_{1} + k_{2} }$, а сила упругости, возникающая в каждой из пружин, $F = \frac{2yk_{1}k_{2} }{k_{1} + k_{2} } + \frac{Mg}{2}$. По второму закону Ньютона для груза имеем $Ma = Mg - 2F = - 4 \frac{k_{1}k_{2} }{k_{1} + k_{2} } y$, или $\ddot{y} + \frac{4k_{1}k_{2} }{M(k_{1} + k_{2} )} y = 0$. Это уравнение описывает гармонические колебания груза относительно положения равновесия с частотой $\omega = 2 \sqrt{ \frac{k_{1}k_{2} }{M(k_{1} + k_{2} )} }$ и периодом $T = \frac{2 \pi }{ \omega } = \pi \sqrt{ \frac{M(k_{1} + k_{2} )}{k_{1}k_{2} } }$.
Ответ. $T = \pi \sqrt{ \frac{M(k_{1} + k_{2} ) }{k_{1}k_{2} } } \approx 0,4 с, k_{2} = \frac{ \pi^{2}Mk_{1} }{k_{1}T^{2} - \pi^{2}M } \approx 20,9 Н/м$.
В устройстве, показанном на рисунке, груз массой $M = 0,2 кг$ подвешен к середине стержня, а стержень расположен горизонтально. Блок, нить, пружины и стержень невесомы, нить нерастяжима. Коэффициенты жёсткости пружин $k_{1} = 30 Н/м, k_{2} = 20 Н/м$. Стержень смещают вертикально вниз на небольшое расстояние и отпускают. Определите период $T$ возникших после этого малых вертикальных колебаний груза. Считайте, что стержень остаётся в процессе колебаний всё время горизонтальным.
Решение:
В положении равновесия сила упругости, возникающая в каждой из пружин, равна $\frac{Mg}{2}$. Поэтому удлинения пружин в положении равновесия $\Delta y_{1} = \frac{Mg}{2k_{1} }, \Delta y_{2} = \frac{Mg}{2k_{2} }$, где $g$ - ускорение свободного падения.
Пусть в некоторый момент времени горизонтальный стержень опустится на величину $y$. Из-за нерастяжимости нити верхние концы пружин сместятся при этом в разные стороны - левой пружины на величину $\Delta y$ вниз, а правой - на столько же вверх (поскольку $k_{1} > k_{2}$). Сила натяжения нити слева и справа одинакова, поэтому $k_{1} (y - \Delta y + \Delta y_{1} ) = k_{2} (y + \Delta y + \Delta y_{2})$. С учетом полученных выше выражений для $\Delta y_{1}$ и $\Delta y_{2}$ отсюда следует, что $\Delta y = y \frac{k_{1} - k_{2} }{k_{1} + k_{2} }$, а сила упругости, возникающая в каждой из пружин, $F = \frac{2yk_{1}k_{2} }{k_{1} + k_{2} } + \frac{Mg}{2}$. По второму закону Ньютона для груза имеем $Ma = Mg - 2F = - 4 \frac{k_{1}k_{2} }{k_{1} + k_{2} } y$, или $\ddot{y} + \frac{4k_{1}k_{2} }{M(k_{1} + k_{2} )} y = 0$. Это уравнение описывает гармонические колебания груза относительно положения равновесия с частотой $\omega = 2 \sqrt{ \frac{k_{1}k_{2} }{M(k_{1} + k_{2} )} }$ и периодом $T = \frac{2 \pi }{ \omega } = \pi \sqrt{ \frac{M(k_{1} + k_{2} )}{k_{1}k_{2} } }$.
Ответ. $T = \pi \sqrt{ \frac{M(k_{1} + k_{2} ) }{k_{1}k_{2} } } \approx 0,4 с, k_{2} = \frac{ \pi^{2}Mk_{1} }{k_{1}T^{2} - \pi^{2}M } \approx 20,9 Н/м$.
