2020-12-06
Учитель принес на урок физики сплошной шар размером с футбольный мяч, изготовленный из некоторого прозрачного материала. Когда любознательный школьник, держа этот шар вблизи своего глаза, смотрел сквозь шар в окно, на противоположную от его глаза поверхность шара села муха. Увидев ее, ученик с удивлением заметил, что теперь шар кажется ему в $k$ больше, чем на самом деле. Учитель попросил школьника определить показатель преломления $n$ материала, из которого сделан шар. Какой результат получил школьник?
Решение:
На рисунке показан ход одного из лучей, идущих от мухи (точка А) в точку С и далее в воздух. Школьнику кажется, что муха находится в точке В и, следовательно, поверхность шара, на которой сидит муха, удалена от передней его поверхности на расстояние $L = 2R + l$, где $R$ - радиус шара. Поэтому шар кажется школьнику больше, чем на самом деле, в $k = \frac{L}{2R}$ раз. Поскольку размер шара много больше диаметра зрачка человеческого глаза, углы падения и преломления всех лучей, попадающих в зрачок, являются малыми. Следовательно, по закону преломления $\alpha \approx n \beta$. Кроме того, $h \approx 2R \cdot \beta \approx L \cdot \phi$. Сумма углов в треугольнике АВС равна $\phi + ( \alpha - \beta ) + ( \pi - \beta ) = \pi$, отсюда следует, что $\phi = 2 \beta - \alpha$. Из записанных равенств находим, что $k = \frac{1}{2 - n}$, откуда $n = 2 - \frac{1}{k}$.