Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14515
2020-12-04 
Частица движется по окружности, вращающейся с постоянной угловой скоростью $\Omega$ вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости окружности и проходящей через центр. Масса частицы $m$, радиус окружности - $R$. Найдите частоту малых колебаний $\omega$ в окрестности нижнего положения устойчивого равновесия при условии $\Omega^{2}R < g$.
Решение:
Мы рассматриваем движение частицы по окружности, поэтому нам важны силы, действующие на частицу, которые имеют ненулевую проекцию на касательную к окружности. В неинерциальной системе, связанной с окружностью, на частицу будут действовать силы: сила тяжести, сила реакции и центробежная сила. В качестве координаты частицы выберем угол $\theta$ (см. рисунок). Расстояние частицы до оси вращения $R \sin \theta$.
1) Проекция второго закона Ньютона на касательную к окружности в положении равновесия:
$-g \sin \theta^{0} + \Omega^{2} R \sin \theta^{0} \cos \theta^{0} = 0$,
где $\theta^{0}$ - координата положения равновесия.
Решая это уравнение относительно $\theta^{0}$, получаем три корня:
$\theta_{1}^{0} = 0, \cos \theta_{2}^{0} = \frac{g}{ \Omega^{2}R}, \theta_{3}^{0} = \pi$.
Очевидно, что нижнему положению устойчивого равновесия соответствует угол $\theta{1}^{0} = 0$. Переобозначим его через $\theta_{1} \equiv \theta_{1}^{0} = 0$.
2) В проекции на касательную из второго закона Ньютона получим уравнение:
$R \frac{d^{2} \theta }{dt^{2} } = -g \sin \theta + \Omega^{2} R \sin \theta \cos \theta$.
Координату частицы $\theta$ можно представить следующим образом: $\theta = \theta_{1} + \Delta \theta$, где $\Delta \theta$ - малое отклонение от нижнего устойчивого положения равновесия.
Преобразуем правую часть уравнения $-g \sin \theta + \Omega^{2}R \sin \theta \cos \theta$.
$\sin \theta = \sin ( \theta_{1} + \Delta \theta ) = \sin \theta_{1} \cos \Delta \theta + \cos \theta_{1} \sin \Delta \theta$,
$\cos \theta = \cos ( \theta_{1} + \Delta \theta ) = \cos \theta_{1} \cos \Delta \theta - \sin \theta_{1} \sin \Delta \theta$,
Так как угол $\Delta \theta$ мал, то $\cos \Delta \theta \approx 1, \sin \Delta \theta \approx \Delta \theta$. Кроме того, $\sin \theta_{1} = 0, \cos \theta_{1} = 1$. Тогда справедливо: $\sin \theta \approx \Delta \theta, \cos \theta \approx 1$.
Второй закон Ньютона приобретает следующий вид:
$\frac{d^{2} ( \Delta \theta )}{dt^{2} } = - \frac{(g - \Omega^{2}R ) }{R} \Delta \theta$.
Видно, что при $g > \Omega^{2}R$ уравнение имеет вид уравнения $x^{ \prime \prime} = - \omega^{2}x$, решением которого, как известно, является гармоническое колебание с частотой $\omega$. Таким образом, частота гармонических колебаний около рассмотренного положения равновесия равна $\omega{1} = \sqrt{ \frac{g}{R - \Omega^{2} } }$.
Ответ: если $g > \Omega^{2}R$, то частица колеблется в окрестности устойчивого положения равновесия $\omega_{1} = 0$ с частотой $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{g}{R - \Omega^{2} } }$.
Частица движется по окружности, вращающейся с постоянной угловой скоростью $\Omega$ вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости окружности и проходящей через центр. Масса частицы $m$, радиус окружности - $R$. Найдите частоту малых колебаний $\omega$ в окрестности нижнего положения устойчивого равновесия при условии $\Omega^{2}R < g$.
Решение:
Мы рассматриваем движение частицы по окружности, поэтому нам важны силы, действующие на частицу, которые имеют ненулевую проекцию на касательную к окружности. В неинерциальной системе, связанной с окружностью, на частицу будут действовать силы: сила тяжести, сила реакции и центробежная сила. В качестве координаты частицы выберем угол $\theta$ (см. рисунок). Расстояние частицы до оси вращения $R \sin \theta$.
1) Проекция второго закона Ньютона на касательную к окружности в положении равновесия:
$-g \sin \theta^{0} + \Omega^{2} R \sin \theta^{0} \cos \theta^{0} = 0$,
где $\theta^{0}$ - координата положения равновесия.
Решая это уравнение относительно $\theta^{0}$, получаем три корня:
$\theta_{1}^{0} = 0, \cos \theta_{2}^{0} = \frac{g}{ \Omega^{2}R}, \theta_{3}^{0} = \pi$.
Очевидно, что нижнему положению устойчивого равновесия соответствует угол $\theta{1}^{0} = 0$. Переобозначим его через $\theta_{1} \equiv \theta_{1}^{0} = 0$.
2) В проекции на касательную из второго закона Ньютона получим уравнение:
$R \frac{d^{2} \theta }{dt^{2} } = -g \sin \theta + \Omega^{2} R \sin \theta \cos \theta$.
Координату частицы $\theta$ можно представить следующим образом: $\theta = \theta_{1} + \Delta \theta$, где $\Delta \theta$ - малое отклонение от нижнего устойчивого положения равновесия.
Преобразуем правую часть уравнения $-g \sin \theta + \Omega^{2}R \sin \theta \cos \theta$.
$\sin \theta = \sin ( \theta_{1} + \Delta \theta ) = \sin \theta_{1} \cos \Delta \theta + \cos \theta_{1} \sin \Delta \theta$,
$\cos \theta = \cos ( \theta_{1} + \Delta \theta ) = \cos \theta_{1} \cos \Delta \theta - \sin \theta_{1} \sin \Delta \theta$,
Так как угол $\Delta \theta$ мал, то $\cos \Delta \theta \approx 1, \sin \Delta \theta \approx \Delta \theta$. Кроме того, $\sin \theta_{1} = 0, \cos \theta_{1} = 1$. Тогда справедливо: $\sin \theta \approx \Delta \theta, \cos \theta \approx 1$.
Второй закон Ньютона приобретает следующий вид:
$\frac{d^{2} ( \Delta \theta )}{dt^{2} } = - \frac{(g - \Omega^{2}R ) }{R} \Delta \theta$.
Видно, что при $g > \Omega^{2}R$ уравнение имеет вид уравнения $x^{ \prime \prime} = - \omega^{2}x$, решением которого, как известно, является гармоническое колебание с частотой $\omega$. Таким образом, частота гармонических колебаний около рассмотренного положения равновесия равна $\omega{1} = \sqrt{ \frac{g}{R - \Omega^{2} } }$.
Ответ: если $g > \Omega^{2}R$, то частица колеблется в окрестности устойчивого положения равновесия $\omega_{1} = 0$ с частотой $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{g}{R - \Omega^{2} } }$.
