Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14514
2020-12-04 
Длинный металлический стержень согнут в виде угла $60^{ \circ}$. Проводящая перемычка, расположенная перпендикулярно биссектрисе угла, перемещается поступательно с постоянной скоростью $V = 5 м/с$ вдоль биссектрисы, образуя треугольный контур. Система помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B = 0,1 Тл$, перпендикулярное плоскости контура. Стержень начинает движение от вершины.
Определить силу тока, индуцированного в контуре через $t = 2 с$ после начала движения, и количество теплоты, которое выделится к этому моменту, если сопротивление единицы длины контура $\lambda = 1 Ом/м$.
Решение:
При движении в каждый момент времени $t$ перемычка и стороны стержня образуют равносторонний треугольник с высотой $h$, причем $h = Vt$.
$AB = BC = CA = \frac{h}{ \cos 30^{ \circ } }$.
Вычислим периметр контура $P$ и его площадь $S$:
$P(t) = AB + BC + CA = \frac{3h}{ \cos 30^{ \circ} } = \frac{3Vt}{ \cos 30^{ \circ} }$;
$S(t) = \frac{h}{2} \cdot BC = \frac{h}{2} \frac{h}{ \cos 30^{ \circ} } = \frac{h^{2}}{2 \cos 30^{ \circ } } = \frac{V^{2} }{2 \cos 30^{ \circ} } t^{2}$.
При движении перемычки меняется поток вектора магнитной индукции, пронизывающего контур, за счет изменения площади контура. Согласно закону Фарадея возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}$:
$\mathcal{E}(t) = \left | \frac{d \Phi}{dt} \right | = B \frac{dS}{dt} = B \frac{V^{2} }{2 \cos 30^{ \circ} } 2t = B \frac{V^{2} }{ \cos 30^{ \circ} } t$.
Сопротивление контура $R$ вычисляем через сопротивление единицы длины:
$R(t) = P(t) \lambda = \frac{3Vt}{ \cos 30^{ \circ} } \lambda$.
Найдем значение силы тока, протекающего в контуре в момент времени $t$:
$I(t) = \frac{ \mathcal{E}(t) }{ R(t) } = \frac{ BV^{2}t \cos 30^{ \circ} }{ \cos 30^{ \circ } \cdot 3Vt \lambda } = \frac{BV}{3 \lambda } = \frac{0,1 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{1}{6} А \approx 0,16 А$.
Согласно закону Джоуля-Ленца:
$dQ = I^{2} R dt = \frac{B^{2}V^{2} }{9 \lambda^{2} } \frac{3Vt}{ \cos 30^{ \circ} } \lambda dt = \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ} } tdt$.
Тогда количество теплоты, выделевшееся за интервал времени от $t = 0 с$ до $t = 2 с$, будет равно:
$Q_{ \Sigma } = \int_{0}^{2} \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ} } tdt = \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ} } \left . \frac{t^{2} }{2} \right |_{0}^{2} = \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ } } \frac{4}{2} = \frac{10^{-2} \cdot 5^{3} \cdot 4 }{3 \cdot 1 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot 2 } \approx 0,96 Дж$.
Ответ: $I \approx 0,17 А, Q_{ \Sigma } \approx 0,96 Дж$.
Длинный металлический стержень согнут в виде угла $60^{ \circ}$. Проводящая перемычка, расположенная перпендикулярно биссектрисе угла, перемещается поступательно с постоянной скоростью $V = 5 м/с$ вдоль биссектрисы, образуя треугольный контур. Система помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B = 0,1 Тл$, перпендикулярное плоскости контура. Стержень начинает движение от вершины.
Определить силу тока, индуцированного в контуре через $t = 2 с$ после начала движения, и количество теплоты, которое выделится к этому моменту, если сопротивление единицы длины контура $\lambda = 1 Ом/м$.
Решение:
При движении в каждый момент времени $t$ перемычка и стороны стержня образуют равносторонний треугольник с высотой $h$, причем $h = Vt$.
$AB = BC = CA = \frac{h}{ \cos 30^{ \circ } }$.
Вычислим периметр контура $P$ и его площадь $S$:
$P(t) = AB + BC + CA = \frac{3h}{ \cos 30^{ \circ} } = \frac{3Vt}{ \cos 30^{ \circ} }$;
$S(t) = \frac{h}{2} \cdot BC = \frac{h}{2} \frac{h}{ \cos 30^{ \circ} } = \frac{h^{2}}{2 \cos 30^{ \circ } } = \frac{V^{2} }{2 \cos 30^{ \circ} } t^{2}$.
При движении перемычки меняется поток вектора магнитной индукции, пронизывающего контур, за счет изменения площади контура. Согласно закону Фарадея возникает ЭДС индукции $\mathcal{E}$:
$\mathcal{E}(t) = \left | \frac{d \Phi}{dt} \right | = B \frac{dS}{dt} = B \frac{V^{2} }{2 \cos 30^{ \circ} } 2t = B \frac{V^{2} }{ \cos 30^{ \circ} } t$.
Сопротивление контура $R$ вычисляем через сопротивление единицы длины:
$R(t) = P(t) \lambda = \frac{3Vt}{ \cos 30^{ \circ} } \lambda$.
Найдем значение силы тока, протекающего в контуре в момент времени $t$:
$I(t) = \frac{ \mathcal{E}(t) }{ R(t) } = \frac{ BV^{2}t \cos 30^{ \circ} }{ \cos 30^{ \circ } \cdot 3Vt \lambda } = \frac{BV}{3 \lambda } = \frac{0,1 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{1}{6} А \approx 0,16 А$.
Согласно закону Джоуля-Ленца:
$dQ = I^{2} R dt = \frac{B^{2}V^{2} }{9 \lambda^{2} } \frac{3Vt}{ \cos 30^{ \circ} } \lambda dt = \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ} } tdt$.
Тогда количество теплоты, выделевшееся за интервал времени от $t = 0 с$ до $t = 2 с$, будет равно:
$Q_{ \Sigma } = \int_{0}^{2} \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ} } tdt = \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ} } \left . \frac{t^{2} }{2} \right |_{0}^{2} = \frac{B^{2}V^{3} }{3 \lambda \cos 30^{ \circ } } \frac{4}{2} = \frac{10^{-2} \cdot 5^{3} \cdot 4 }{3 \cdot 1 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot 2 } \approx 0,96 Дж$.
Ответ: $I \approx 0,17 А, Q_{ \Sigma } \approx 0,96 Дж$.
