Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14506
2020-12-04 
Шарик массы $m$, насаженный на стержень, вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\Omega$ вокруг оси, с которой соединен пружиной жесткости $k$. Определите частоту колебаний шарика вдоль стержня, если $\Omega^{2} < \frac{k}{m}$.
Решение:
Пусть $l_{0}$ - длина нерастянутой пружины, $\Delta l$ - растяжение пружины в положении равновесия, $l_{1} = l_{0} + \Delta l$ - длина растянутой пружины в ситуации равновесия. Если рассматривать движение шарика во вращающейся неинерциальной системе отсчета, то в положении равновесия центробежная сила $F_{цб}$ компенсируется силой упругости растянутой пружины $F_{упр}$:
$F_{цб} = F_{упр}$;
$m \Omega^{2}l_{1} = k(l_{1} - l_{0})$.
Отсюда находим длину растянутой пружины $l_{1}$:
$l_{1} = \frac{kl_{0} }{k - m \Omega^{2} }$.
Рассмотрим, что будет, если пружина дополнительно растянется на малый отрезок $\Delta x$. Ось $x$ направим вдоль стержня от оси вращения. Второй закон Ньютона для шарика:
$ma = m \Omega^{2}(l_{1} + \Delta x) - k(l_{1} - l_{0} + \Delta x)$
$ma = m \Omega^{2}l_{1} - k(l_{1} - l_{0}) + m \Omega^{2} \Delta x - k \Delta x$.
Сумма первых двух членов в правой части равна нулю, поэтому уравнение принимает вид:
$ma = (m \Omega^{2} - k) \Delta x$;
$a = \left ( \frac{k}{m} - \Omega^{2} \right ) \Delta x$.
Полученное уравнение подобно уравнению $x^{ \prime \prime} + \omega^{2}x = 0$, описывающему движение гармонической колебательной системы. Сопоставляя уравнения, получим круговую частоту колебаний шарика, а от нее перейдем к частоте:
$\omega^{2} = \frac{k}{m} - \Omega^{2}$;
$\nu = \frac{ \sqrt{ \frac{k}{m} - \Omega^{2} } }{2 \pi}$
Ограничение на скорость вращения стержня $\Omega^{2} < \frac{k}{m}$ в условии дано не просто так. Из полученного нами уравнения движения шарика видно, что при несоблюдении этого условия частота получается комплексной и никакого гармонического движения наблюдаться не будет. При слишком большой скорости вращения (для данных $k$ и $m$) не найдется положения, в котором сила упругости пружины смогла бы скомпенсировать центробежную силу, то есть не будет положения равновесия, а пружинка будет растягиваться, пока не порвется.
Шарик массы $m$, насаженный на стержень, вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\Omega$ вокруг оси, с которой соединен пружиной жесткости $k$. Определите частоту колебаний шарика вдоль стержня, если $\Omega^{2} < \frac{k}{m}$.
Решение:
Пусть $l_{0}$ - длина нерастянутой пружины, $\Delta l$ - растяжение пружины в положении равновесия, $l_{1} = l_{0} + \Delta l$ - длина растянутой пружины в ситуации равновесия. Если рассматривать движение шарика во вращающейся неинерциальной системе отсчета, то в положении равновесия центробежная сила $F_{цб}$ компенсируется силой упругости растянутой пружины $F_{упр}$:
$F_{цб} = F_{упр}$;
$m \Omega^{2}l_{1} = k(l_{1} - l_{0})$.
Отсюда находим длину растянутой пружины $l_{1}$:
$l_{1} = \frac{kl_{0} }{k - m \Omega^{2} }$.
Рассмотрим, что будет, если пружина дополнительно растянется на малый отрезок $\Delta x$. Ось $x$ направим вдоль стержня от оси вращения. Второй закон Ньютона для шарика:
$ma = m \Omega^{2}(l_{1} + \Delta x) - k(l_{1} - l_{0} + \Delta x)$
$ma = m \Omega^{2}l_{1} - k(l_{1} - l_{0}) + m \Omega^{2} \Delta x - k \Delta x$.
Сумма первых двух членов в правой части равна нулю, поэтому уравнение принимает вид:
$ma = (m \Omega^{2} - k) \Delta x$;
$a = \left ( \frac{k}{m} - \Omega^{2} \right ) \Delta x$.
Полученное уравнение подобно уравнению $x^{ \prime \prime} + \omega^{2}x = 0$, описывающему движение гармонической колебательной системы. Сопоставляя уравнения, получим круговую частоту колебаний шарика, а от нее перейдем к частоте:
$\omega^{2} = \frac{k}{m} - \Omega^{2}$;
$\nu = \frac{ \sqrt{ \frac{k}{m} - \Omega^{2} } }{2 \pi}$
Ограничение на скорость вращения стержня $\Omega^{2} < \frac{k}{m}$ в условии дано не просто так. Из полученного нами уравнения движения шарика видно, что при несоблюдении этого условия частота получается комплексной и никакого гармонического движения наблюдаться не будет. При слишком большой скорости вращения (для данных $k$ и $m$) не найдется положения, в котором сила упругости пружины смогла бы скомпенсировать центробежную силу, то есть не будет положения равновесия, а пружинка будет растягиваться, пока не порвется.
