Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14505
2020-12-04 
Деревянный шар зафиксирован в воде с помощью гладких стержней так, как показано на рисунке. Объем шара $V = 200 см^{3}$, плотность дерева $\rho = 900 кг/м^{3}, \cos \beta = 1/4, \cos \gamma = 1/3$, плотность воды $\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$. Найдите силы, с которыми стержни действуют на шар в двух случаях:
1) Сосуд и его содержимое неподвижны;
2) Сосуд и его содержимое двигаются с постоянным ускорением $a = g/3$.
Шар всегда полностью покрыт водой.
Решение:
1) Когда сосуд неподвижен, на тело действуют силы реакции опоры со стороны стержней $T_{ \gamma}$ и $T_{ \beta}$, сила тяжести $F_{g} = g \rho V$ и сила Архимеда $F_{A} = \rho g V$. $T_{ \gamma}$ и $T_{ \beta}$ составляют с вертикалью углы $90^{ \circ} - \gamma$ и $90^{ \circ } - \beta$ соответственно. Запишем баланс сил в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$\begin{cases} T_{ \gamma } \cos \gamma = T_{ \beta } \cos \beta \\ F_{A} = F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta + T_{ \gamma } \sin \gamma \end{cases}$
Подставляя выражения для силы тяжести и силы Архимеда, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \gamma } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) \cos \beta }{ \sin \gamma \cos \beta + \cos \gamma \sin \beta } \approx 0,09 Н \\ T_{ \beta } = \frac{ gV ( \rho_{0} - \rho ) \cos \gamma }{ \sin \gamma \cos \beta + \cos \gamma \sin \beta } \approx 0,12 Н \end{cases}$
Мы считаем $g$ равным 10 м/с.
2) Пусть теперь сосуд движется с ускорением направо. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с сосудом. Такой переход эквивалентен изменению гравитационного поля: ускорение свободного падения $\vec{g}^{ \prime}$ в неинерциальной системе отсчета равно векторной разности ускорения свободного падения в инерциальной системе отсчета $\vec{g}$ и ускорения движения $\vec{a}$.
Иначе говоря, на тело начинает действовать сила инерции $F_{i} = aV \rho$, направленная против ускорения движения и, как следствие, у силы Архимеда появляется горизонтальная составляющая $F_{A2} = aV \rho_{0}$, сонаправленная с ускорением. Выражение для вертикальной составляющей силы Архимеда осталось прежним: $F_{A1} = gV \rho_{0}$.
Найдем угол, который равнодействующая $\vec{R}$ силы Архимеда, силы инерции и силы тяжести образует с горизонталью. Горизонтальная составляющая этой силы равна $R_{2} = F_{A2} - F_{i} = aV( \rho_{0} - \rho )$, вертикальная - $R_{1} = F_{A1} - F_{g} = aV ( \rho_{0} - \rho )$. Таким образом, $\vec{R}$ направлена вверх и образует с горизонталью угол $tg \phi = \frac{g}{a} = 3$.
Сила реакции опоры со стороны правого стержня направлена вниз и составляет с горизонталью угол $\beta, tg \beta = \sqrt{15}$. Отсюда следует, что $\beta > \phi$. Но тогда проекция $\vec{R}$ на направление вдоль правого стержня ничем не скомпенсирована, поскольку стержни гладкие, а сила реакции опоры со стороны левого стержня, очевидно, может быть направлена только вниз под некоторым углом, и ее проекция на правый стержень будет сонаправлена с проекцией $\vec{R}$. Поэтому шар после начала движения соскальзывает по гладкому стержню и упирается в правую стенку сосуда. Таким образом, на шар действуют силы реакции опоры со стороны правого стержня $T_{ \beta }$ и со стороны стенки $N$, сила тяжести, сила инерции и сила Архимеда. Запишем баланс сил в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления.
$\begin{cases} T_{ \beta} \cos \beta + N + F_{i} = F_{A2} \\ F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta = F_{A1} \end{cases}$
Подставляя выражения для сил, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \beta} \cos \beta + N = aV ( \rho_{0} - \rho ) \\ T_{ \beta } \sin \beta = gV ( \rho_{0} - \rho ) \end{cases}$
$\begin{cases} T_{ \beta } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) }{ \sin \beta } \approx 0,21 Н \\ N = \frac{V ( \rho_{0} - \rho )( a \sin \beta - g \cos \beta ) }{ \sin \beta } \approx 0,015 Н \end{cases}$
Ответ: 1) 0,09 Н, 0,12 Н; 2) Шар скатится к правой стенке сосуда, сила реакции опоры со стороны правого стержня 0,21 Н, сила реакции опоры со стороны стенки 0,015 Н.
Деревянный шар зафиксирован в воде с помощью гладких стержней так, как показано на рисунке. Объем шара $V = 200 см^{3}$, плотность дерева $\rho = 900 кг/м^{3}, \cos \beta = 1/4, \cos \gamma = 1/3$, плотность воды $\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$. Найдите силы, с которыми стержни действуют на шар в двух случаях:
1) Сосуд и его содержимое неподвижны;
2) Сосуд и его содержимое двигаются с постоянным ускорением $a = g/3$.
Шар всегда полностью покрыт водой.
Решение:
1) Когда сосуд неподвижен, на тело действуют силы реакции опоры со стороны стержней $T_{ \gamma}$ и $T_{ \beta}$, сила тяжести $F_{g} = g \rho V$ и сила Архимеда $F_{A} = \rho g V$. $T_{ \gamma}$ и $T_{ \beta}$ составляют с вертикалью углы $90^{ \circ} - \gamma$ и $90^{ \circ } - \beta$ соответственно. Запишем баланс сил в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$\begin{cases} T_{ \gamma } \cos \gamma = T_{ \beta } \cos \beta \\ F_{A} = F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta + T_{ \gamma } \sin \gamma \end{cases}$
Подставляя выражения для силы тяжести и силы Архимеда, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \gamma } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) \cos \beta }{ \sin \gamma \cos \beta + \cos \gamma \sin \beta } \approx 0,09 Н \\ T_{ \beta } = \frac{ gV ( \rho_{0} - \rho ) \cos \gamma }{ \sin \gamma \cos \beta + \cos \gamma \sin \beta } \approx 0,12 Н \end{cases}$
Мы считаем $g$ равным 10 м/с.
2) Пусть теперь сосуд движется с ускорением направо. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с сосудом. Такой переход эквивалентен изменению гравитационного поля: ускорение свободного падения $\vec{g}^{ \prime}$ в неинерциальной системе отсчета равно векторной разности ускорения свободного падения в инерциальной системе отсчета $\vec{g}$ и ускорения движения $\vec{a}$.
Иначе говоря, на тело начинает действовать сила инерции $F_{i} = aV \rho$, направленная против ускорения движения и, как следствие, у силы Архимеда появляется горизонтальная составляющая $F_{A2} = aV \rho_{0}$, сонаправленная с ускорением. Выражение для вертикальной составляющей силы Архимеда осталось прежним: $F_{A1} = gV \rho_{0}$.
Найдем угол, который равнодействующая $\vec{R}$ силы Архимеда, силы инерции и силы тяжести образует с горизонталью. Горизонтальная составляющая этой силы равна $R_{2} = F_{A2} - F_{i} = aV( \rho_{0} - \rho )$, вертикальная - $R_{1} = F_{A1} - F_{g} = aV ( \rho_{0} - \rho )$. Таким образом, $\vec{R}$ направлена вверх и образует с горизонталью угол $tg \phi = \frac{g}{a} = 3$.
Сила реакции опоры со стороны правого стержня направлена вниз и составляет с горизонталью угол $\beta, tg \beta = \sqrt{15}$. Отсюда следует, что $\beta > \phi$. Но тогда проекция $\vec{R}$ на направление вдоль правого стержня ничем не скомпенсирована, поскольку стержни гладкие, а сила реакции опоры со стороны левого стержня, очевидно, может быть направлена только вниз под некоторым углом, и ее проекция на правый стержень будет сонаправлена с проекцией $\vec{R}$. Поэтому шар после начала движения соскальзывает по гладкому стержню и упирается в правую стенку сосуда. Таким образом, на шар действуют силы реакции опоры со стороны правого стержня $T_{ \beta }$ и со стороны стенки $N$, сила тяжести, сила инерции и сила Архимеда. Запишем баланс сил в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления.
$\begin{cases} T_{ \beta} \cos \beta + N + F_{i} = F_{A2} \\ F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta = F_{A1} \end{cases}$
Подставляя выражения для сил, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \beta} \cos \beta + N = aV ( \rho_{0} - \rho ) \\ T_{ \beta } \sin \beta = gV ( \rho_{0} - \rho ) \end{cases}$
$\begin{cases} T_{ \beta } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) }{ \sin \beta } \approx 0,21 Н \\ N = \frac{V ( \rho_{0} - \rho )( a \sin \beta - g \cos \beta ) }{ \sin \beta } \approx 0,015 Н \end{cases}$
Ответ: 1) 0,09 Н, 0,12 Н; 2) Шар скатится к правой стенке сосуда, сила реакции опоры со стороны правого стержня 0,21 Н, сила реакции опоры со стороны стенки 0,015 Н.
