Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14504
2020-12-04 
Деревянный шар зафиксирован в воде с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей, как показано на рисунке. Объем шара $V = 200 см^{3}$, плотность дерева $\rho = 900 кг/м^{3}, \cos \beta = 1/4, \cos \gamma = 2/3$, плотность воды $\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$. Найдите силы, с которыми нити действуют на шар в двух случаях:
1) Сосуд и его содержимое неподвижны;
2) Сосуд и его содержимое двигаются с постоянным ускорением $a = g/5$.
Шар всегда полностью покрыт водой.
Решение:
1) Когда сосуд неподвижен, на тело действуют силы натяжения нитей $T_{ \gamma}$ и $T_{ \beta}$, сила тяжести $F_{g} = g \rho V$ и сила Архимеда $F_{A} = g \rho_{0}V$. Запишем баланс сил в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$\begin{cases} T_{ \gamma } \sin \gamma = T_{ \beta } \cos \beta \\ F_{A} + T_{ \gamma} \cos \gamma = F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta \end{cases}$
Подставляя выражения для силы тяжести и силы Архимеда, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \gamma } \sin \gamma = T_{ \beta } \cos \beta \\ T_{ \beta } \sin \beta - T_{ \gamma} \cos \gamma = gV ( \rho_{0} - \rho ) \end{cases}$
$\begin{cases} T_{ \gamma } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) \cos \beta }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,09 Н \\ T_{ \beta } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) \sin \gamma }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,27 Н \end{cases}$
Мы считаем $g$ равным 10 м/с.
2) Пусть теперь сосуд движется с ускорением налево. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с сосудом. Такой переход эквивалентен изменению гравитационного поля: ускорение свободного падения $\vec{g}^{ \prime}$ в неинерциальной системе отсчета равно векторной разности ускорения свободного падения в инерциальной системе отсчета $\vec{g}$ и ускорения движения $\vec{a}$. Иначе говоря, в дополнение к силам, перечисленным в пункте 1, на тело начинает действовать сила инерции $F_{i} = aV \rho$, направленная против ускорения движения.
Как следствие, у силы Архимеда появляется горизонтальная составляющая $F_{A2} = aV \rho_{0}$, сонаправленная с ускорением. Выражение для вертикальной составляющей силы Архимеда осталось прежним: $F_{A1} = g V \rho_{0}$.
Теперь мы можем записать второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$\begin{cases} T_{ \gamma } \sin \gamma + F_{A2} = T_{ \beta} \cos \beta + F_{i} \\ F_{A1} + T_{ \gamma } \cos \gamma = F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta \end{cases}$
Подставляя выражения для сил, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \beta } \cos \beta - T_{ \gamma } \sin \gamma = aV ( \rho - \rho ) \\ T_{ \beta } \sin \beta - T_{ \gamma } \cos \gamma = gV ( \rho_{0} - \rho ) \end{cases}$
$\begin{cases} T_{ \gamma } = \frac{V ( \rho_{0} - \rho )( g \cos \beta - a \sin \beta ) }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,02 Н \\ T_{ \beta } = \frac{V ( \rho_{0} - \rho )( g \sin \gamma - a \cos \gamma ) }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,22 Н \end{cases}$
Ответ: 1) 0,09 Н, 0,27Н; 2) 0,02 Н, 0,22 Н.
Деревянный шар зафиксирован в воде с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей, как показано на рисунке. Объем шара $V = 200 см^{3}$, плотность дерева $\rho = 900 кг/м^{3}, \cos \beta = 1/4, \cos \gamma = 2/3$, плотность воды $\rho_{0} = 1000 кг/м^{3}$. Найдите силы, с которыми нити действуют на шар в двух случаях:
1) Сосуд и его содержимое неподвижны;
2) Сосуд и его содержимое двигаются с постоянным ускорением $a = g/5$.
Шар всегда полностью покрыт водой.
Решение:
1) Когда сосуд неподвижен, на тело действуют силы натяжения нитей $T_{ \gamma}$ и $T_{ \beta}$, сила тяжести $F_{g} = g \rho V$ и сила Архимеда $F_{A} = g \rho_{0}V$. Запишем баланс сил в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$\begin{cases} T_{ \gamma } \sin \gamma = T_{ \beta } \cos \beta \\ F_{A} + T_{ \gamma} \cos \gamma = F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta \end{cases}$
Подставляя выражения для силы тяжести и силы Архимеда, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \gamma } \sin \gamma = T_{ \beta } \cos \beta \\ T_{ \beta } \sin \beta - T_{ \gamma} \cos \gamma = gV ( \rho_{0} - \rho ) \end{cases}$
$\begin{cases} T_{ \gamma } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) \cos \beta }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,09 Н \\ T_{ \beta } = \frac{gV ( \rho_{0} - \rho ) \sin \gamma }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,27 Н \end{cases}$
Мы считаем $g$ равным 10 м/с.
2) Пусть теперь сосуд движется с ускорением налево. Перейдем в неинерциальную систему отсчета, связанную с сосудом. Такой переход эквивалентен изменению гравитационного поля: ускорение свободного падения $\vec{g}^{ \prime}$ в неинерциальной системе отсчета равно векторной разности ускорения свободного падения в инерциальной системе отсчета $\vec{g}$ и ускорения движения $\vec{a}$. Иначе говоря, в дополнение к силам, перечисленным в пункте 1, на тело начинает действовать сила инерции $F_{i} = aV \rho$, направленная против ускорения движения.
Как следствие, у силы Архимеда появляется горизонтальная составляющая $F_{A2} = aV \rho_{0}$, сонаправленная с ускорением. Выражение для вертикальной составляющей силы Архимеда осталось прежним: $F_{A1} = g V \rho_{0}$.
Теперь мы можем записать второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$\begin{cases} T_{ \gamma } \sin \gamma + F_{A2} = T_{ \beta} \cos \beta + F_{i} \\ F_{A1} + T_{ \gamma } \cos \gamma = F_{g} + T_{ \beta } \sin \beta \end{cases}$
Подставляя выражения для сил, решаем систему.
$\begin{cases} T_{ \beta } \cos \beta - T_{ \gamma } \sin \gamma = aV ( \rho - \rho ) \\ T_{ \beta } \sin \beta - T_{ \gamma } \cos \gamma = gV ( \rho_{0} - \rho ) \end{cases}$
$\begin{cases} T_{ \gamma } = \frac{V ( \rho_{0} - \rho )( g \cos \beta - a \sin \beta ) }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,02 Н \\ T_{ \beta } = \frac{V ( \rho_{0} - \rho )( g \sin \gamma - a \cos \gamma ) }{ \sin \gamma \sin \beta - \cos \gamma \cos \beta } \approx 0,22 Н \end{cases}$
Ответ: 1) 0,09 Н, 0,27Н; 2) 0,02 Н, 0,22 Н.
