Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14503
2020-12-04 
Невесомый поршень может скользить по гладкой внутренней поверхности вертикально расположенного цилиндра высотой $L = 1 м$, сечением $S = 100 см^{2}$. Начальная температура воздуха $T_{0} = 300 К$, атмосферное давление $P_{0} = 100 кПа$. Цилиндр герметически закрыли поршнем и поставили на него груз массой $m = 73 кг$. В начальном состоянии плоскость поршня расположена на расстоянии $L$ от дна цилиндра. При движении поршня реализуется процесс $PV^{3/2} = const$. Найдите температуру газа при прохождении поршнем положения равновесия и наименьшую высоту, которую он достигнет.
Решение:
1) В положении равновесия сумма сил, действующих на поршень, равна нулю, поэтому $P_{1}S = mg + P_{0}S$, где $P_{1}$ - давление газа под поршнем в положении равновесия. Отсюда
$P_{1} = \frac{mg}{S} + P_{0}$.
Свяжем начальное состояние и положение равновесия с помощью уравнения Менделеева-Клайперона и уравнения политропы:
$\begin{cases} \frac{P_{0}V_{0} }{T_{0} } = \frac{P_{1}V_{1} }{T_{1} }, \\ P_{0}V_{0}^{n} = P_{1}V_{1}^{n}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{P_{0}V_{0}^{n} }{T_{0}^{n} } = \frac{P_{1}^{n}V_{1}^{n} }{T_{1}^{n} }, \\ P_{0}V_{0}^{n} = P_{1}V_{1}^{n}, \end{cases} \Rightarrow \frac{P_{0}^{n - 1} }{T_{0}^{n} } = \frac{P_{1}^{n - 1} }{T_{1}^{n} } \Rightarrow T_{1}^{n} = T_{0}^{n} \frac{P_{1}^{n - 1} }{P_{0}^{n - 1} }$.
Получаем, что
$T_{1} = T_{0} \left ( \frac{P_{1} }{P_{0} } \right )^{ \frac{n - 1}{n} } \approx 300 \sqrt[3]{1,73} К \approx 360 K$.
2) Минимальная высота $x$, очевидно, соответствует смене направления движения поршня, т. е. скорость поршня $\vec{v} = 0$.
Для политропы $PV^{n} = const$ известно, что $n = \frac{c - c_{p} }{c - c_{v} }$, что позволяет найти теплоемкость газа с в политропическом процессе, зная показатель политропы $n$. Воздух - смесь газов, преимущественно азота и кислорода, так как $O_{2}$ и $N_{2}$ - двухатомные газы, то воздух можно приближенно рассматривать как двухатомный газ с количеством степеней свободы $i = 5$.
$c_{p} = \left ( \frac{i}{2} + 1 \right ) \nu R, c_{v} = \frac{i}{2} \nu R$.
Пусть $c = k \nu R$, тогда
$n = \frac{k - \left ( \frac{i}{2} + 1 \right ) }{k - \frac{i}{2} } \Rightarrow k = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{2} \nu R$.
Запишем I начало термодинамики для перехода газа из начального состояния в интересующее нас состояние (характеризуется высотой поршня $x$ над дном цилиндра и температурой газа $T_{k}$).
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A$. Во втором слагаемом стоит работа газа, однако в нашем случае совершается работа над газом. Поглощенная газом теплота ($\Delta Q = \frac{1}{2} \nu R \Delta$) в совокупности с работой силы тяжести и силы со стороны атмосферного давления переходит во внутреннюю энергию газа и потенциальную энергию поршня. В интересующий нас момент времени кинетическая энергия поршня равна нулю. Получаем
$\frac{1}{2} \nu R \Delta T + (mg + P_{0}S )(L - x) = \frac{5}{2} \nu R \Delta T$,
$(mg + P_{0}S)(L - x) = 2 \nu R \Delta T$,
$\Delta T = T_{k} - T_{0}$.
Найдем связи между $x$ и $T_{k}$ через уравнение политропы ($x$ связан с объемом в конечном состоянии $V_{k}$):
$\begin{cases} \frac{P_{0}V_{0} }{T_{0} } = \frac{P_{1}V_{1} }{T_{1} }, \\ P_{0}V_{0}^{n} = P_{1}V_{1}^{n}, \end{cases} \Rightarrow T_{0}V_{0}^{n - 1} = T_{k}V_{k}^{n - 1}$.
Перейдем от объемов к высотам:
$V_{0} = LS, V_{k} = xS; n = - \frac{3}{2} \Rightarrow T_{0} \sqrt{ \frac{L}{x} }$;
$(mg + P_{0}S )L \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) = 2 \nu RT_{0} \left ( \sqrt{ \frac{L}{x} } - 1 \right )$.
Сделаем замену $\frac{x}{L} = \gamma^{2}$:
$\frac{mg + P_{0}S }{2P_{0}S } (1 - \gamma^{2} ) = \frac{1 - \gamma }{ \gamma }$.
Для удобства обозначим $A = \frac{mg + P_{0}S }{2P_{0}S }$ и упростим полученное уравнение (очевидно, что $\gamma \neq 0$):
$A \gamma (1 + \gamma ) = 1$
Решаем квадратное уравнение:
$\gamma = \frac{ \sqrt{ 1 + \frac{4}{A} } - 1 }{s}$.
Единственное решение отбирается из условия $\gamma > 0$. В результате имеем
$x = \gamma^{2}L \approx 0,47 м$.
Невесомый поршень может скользить по гладкой внутренней поверхности вертикально расположенного цилиндра высотой $L = 1 м$, сечением $S = 100 см^{2}$. Начальная температура воздуха $T_{0} = 300 К$, атмосферное давление $P_{0} = 100 кПа$. Цилиндр герметически закрыли поршнем и поставили на него груз массой $m = 73 кг$. В начальном состоянии плоскость поршня расположена на расстоянии $L$ от дна цилиндра. При движении поршня реализуется процесс $PV^{3/2} = const$. Найдите температуру газа при прохождении поршнем положения равновесия и наименьшую высоту, которую он достигнет.
Решение:
1) В положении равновесия сумма сил, действующих на поршень, равна нулю, поэтому $P_{1}S = mg + P_{0}S$, где $P_{1}$ - давление газа под поршнем в положении равновесия. Отсюда
$P_{1} = \frac{mg}{S} + P_{0}$.
Свяжем начальное состояние и положение равновесия с помощью уравнения Менделеева-Клайперона и уравнения политропы:
$\begin{cases} \frac{P_{0}V_{0} }{T_{0} } = \frac{P_{1}V_{1} }{T_{1} }, \\ P_{0}V_{0}^{n} = P_{1}V_{1}^{n}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{P_{0}V_{0}^{n} }{T_{0}^{n} } = \frac{P_{1}^{n}V_{1}^{n} }{T_{1}^{n} }, \\ P_{0}V_{0}^{n} = P_{1}V_{1}^{n}, \end{cases} \Rightarrow \frac{P_{0}^{n - 1} }{T_{0}^{n} } = \frac{P_{1}^{n - 1} }{T_{1}^{n} } \Rightarrow T_{1}^{n} = T_{0}^{n} \frac{P_{1}^{n - 1} }{P_{0}^{n - 1} }$.
Получаем, что
$T_{1} = T_{0} \left ( \frac{P_{1} }{P_{0} } \right )^{ \frac{n - 1}{n} } \approx 300 \sqrt[3]{1,73} К \approx 360 K$.
2) Минимальная высота $x$, очевидно, соответствует смене направления движения поршня, т. е. скорость поршня $\vec{v} = 0$.
Для политропы $PV^{n} = const$ известно, что $n = \frac{c - c_{p} }{c - c_{v} }$, что позволяет найти теплоемкость газа с в политропическом процессе, зная показатель политропы $n$. Воздух - смесь газов, преимущественно азота и кислорода, так как $O_{2}$ и $N_{2}$ - двухатомные газы, то воздух можно приближенно рассматривать как двухатомный газ с количеством степеней свободы $i = 5$.
$c_{p} = \left ( \frac{i}{2} + 1 \right ) \nu R, c_{v} = \frac{i}{2} \nu R$.
Пусть $c = k \nu R$, тогда
$n = \frac{k - \left ( \frac{i}{2} + 1 \right ) }{k - \frac{i}{2} } \Rightarrow k = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{2} \nu R$.
Запишем I начало термодинамики для перехода газа из начального состояния в интересующее нас состояние (характеризуется высотой поршня $x$ над дном цилиндра и температурой газа $T_{k}$).
$\Delta Q = \Delta U + \Delta A$. Во втором слагаемом стоит работа газа, однако в нашем случае совершается работа над газом. Поглощенная газом теплота ($\Delta Q = \frac{1}{2} \nu R \Delta$) в совокупности с работой силы тяжести и силы со стороны атмосферного давления переходит во внутреннюю энергию газа и потенциальную энергию поршня. В интересующий нас момент времени кинетическая энергия поршня равна нулю. Получаем
$\frac{1}{2} \nu R \Delta T + (mg + P_{0}S )(L - x) = \frac{5}{2} \nu R \Delta T$,
$(mg + P_{0}S)(L - x) = 2 \nu R \Delta T$,
$\Delta T = T_{k} - T_{0}$.
Найдем связи между $x$ и $T_{k}$ через уравнение политропы ($x$ связан с объемом в конечном состоянии $V_{k}$):
$\begin{cases} \frac{P_{0}V_{0} }{T_{0} } = \frac{P_{1}V_{1} }{T_{1} }, \\ P_{0}V_{0}^{n} = P_{1}V_{1}^{n}, \end{cases} \Rightarrow T_{0}V_{0}^{n - 1} = T_{k}V_{k}^{n - 1}$.
Перейдем от объемов к высотам:
$V_{0} = LS, V_{k} = xS; n = - \frac{3}{2} \Rightarrow T_{0} \sqrt{ \frac{L}{x} }$;
$(mg + P_{0}S )L \left ( 1 - \frac{x}{L} \right ) = 2 \nu RT_{0} \left ( \sqrt{ \frac{L}{x} } - 1 \right )$.
Сделаем замену $\frac{x}{L} = \gamma^{2}$:
$\frac{mg + P_{0}S }{2P_{0}S } (1 - \gamma^{2} ) = \frac{1 - \gamma }{ \gamma }$.
Для удобства обозначим $A = \frac{mg + P_{0}S }{2P_{0}S }$ и упростим полученное уравнение (очевидно, что $\gamma \neq 0$):
$A \gamma (1 + \gamma ) = 1$
Решаем квадратное уравнение:
$\gamma = \frac{ \sqrt{ 1 + \frac{4}{A} } - 1 }{s}$.
Единственное решение отбирается из условия $\gamma > 0$. В результате имеем
$x = \gamma^{2}L \approx 0,47 м$.
