Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14502
2020-12-04 
Колесо, вся масса $M = 20 кг$ которого заключена в ободе радиусом $R = 2 м$, катят по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $v = 5 км/ч$, прикладывая к оси некоторую неизвестную силу $F$, направленную горизонтально. К внутренней поверхности обода прикреплён маленький шарик массой $m = 2 кг$. Найдите силу давления колеса на поверхность $f(t)$. При каких условиях возможно описанное движение?
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром колеса. В этой системе отсчета колесо вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = \frac{V}{R}$. Угловую координату шарика $\alpha$ будем отсчитывать от нижней точки: $\alpha(t) = \omega t$. На шарик действует сила тяжести $m \vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила $\vec{Q} (t)$, направленная так, чтобы сумма сил, действующих на шарик была всегда направлена к центру колеса и равна $T = m \omega^{2} R$. Проекция этой силы на вертикальное направление зависит от времени следующим образом:
$T_{y} = m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t) = Q(t)_{y} - mg$.
По III закону Ньютона шарик действует на колесо с силой $\vec{N}(t) = - \vec{Q}(t)$. Следовательно:
$N(y) = - m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t) - mg$.
Введем силу $\vec{K}(t) = - \vec{f}(t)$, действующую со стороны поверхности на колесо и направленную всегда вертикально. Сумма сил, действующих на колесо, должна равняться нулю. Сумма сил, действующих на колесо по вертикали:
$- m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t) - mg - Mg + K(t) = 0$,
где $M$ - масса колеса.
Тогда $f(t) = mg + Mg + m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t)$.
При этом $f(t)$ не может быть отрицательной. В противном случае колесо отрывается от поверхности земли, и описанное в условие движение невозможно. Для того, чтобы этого не происходило, необходимо, чтобы выполнялось условие $\omega^{2}R \leq g \left ( 1 + \frac{M}{m} \right )$.
Переходя от угловой скорости к скорости колеса $v$:
$f(t) = mg + Mg + m \frac{v^{2} }{R} \cdot \cos \left ( \frac{Vt}{R} \right ) = 220 + 1,93 \cos (0,7 t)$, при условии $v^{2} \leq gR \left ( 1 + \frac{M}{m} \right )$.
Колесо, вся масса $M = 20 кг$ которого заключена в ободе радиусом $R = 2 м$, катят по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью $v = 5 км/ч$, прикладывая к оси некоторую неизвестную силу $F$, направленную горизонтально. К внутренней поверхности обода прикреплён маленький шарик массой $m = 2 кг$. Найдите силу давления колеса на поверхность $f(t)$. При каких условиях возможно описанное движение?
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром колеса. В этой системе отсчета колесо вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = \frac{V}{R}$. Угловую координату шарика $\alpha$ будем отсчитывать от нижней точки: $\alpha(t) = \omega t$. На шарик действует сила тяжести $m \vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила $\vec{Q} (t)$, направленная так, чтобы сумма сил, действующих на шарик была всегда направлена к центру колеса и равна $T = m \omega^{2} R$. Проекция этой силы на вертикальное направление зависит от времени следующим образом:
$T_{y} = m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t) = Q(t)_{y} - mg$.
По III закону Ньютона шарик действует на колесо с силой $\vec{N}(t) = - \vec{Q}(t)$. Следовательно:
$N(y) = - m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t) - mg$.
Введем силу $\vec{K}(t) = - \vec{f}(t)$, действующую со стороны поверхности на колесо и направленную всегда вертикально. Сумма сил, действующих на колесо, должна равняться нулю. Сумма сил, действующих на колесо по вертикали:
$- m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t) - mg - Mg + K(t) = 0$,
где $M$ - масса колеса.
Тогда $f(t) = mg + Mg + m \omega^{2}R \cdot \cos \alpha (t)$.
При этом $f(t)$ не может быть отрицательной. В противном случае колесо отрывается от поверхности земли, и описанное в условие движение невозможно. Для того, чтобы этого не происходило, необходимо, чтобы выполнялось условие $\omega^{2}R \leq g \left ( 1 + \frac{M}{m} \right )$.
Переходя от угловой скорости к скорости колеса $v$:
$f(t) = mg + Mg + m \frac{v^{2} }{R} \cdot \cos \left ( \frac{Vt}{R} \right ) = 220 + 1,93 \cos (0,7 t)$, при условии $v^{2} \leq gR \left ( 1 + \frac{M}{m} \right )$.
