Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14501
2020-12-04 
Тело массой $m_{1} = 2 кг$ находится на наклонной поверхности покоящегося клина, образующей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом. На нем лежит брусок массой $m_{2} = 1 кг$. Коэффициент трения между телом и поверхностью $\mu_{1} = 0,1$, между телом и бруском - $\mu_{2} = 0,2$.
1) Найдите ускорения тела $a_{1}$ и бруска $a_{2}$.
2) Возможно ли, что при некотором горизонтальном ускорении клина тела будут покоиться относительно него, не отрываясь от его поверхности и друг друга? Если да, то найдите минимальное такое ускорение.
Решение:
На каждое из тел действуют сила тяжести, сила трения и сила реакции опоры (см. рисунок).
1) Найдем ускорения тел.
Поскольку не очевидно, будут ли тела скользить друг относительно друга, предположим, что они скользят с одинаковым ускорением $a$, и проверим, возможно ли это: если сила трения второго тела о первое меньше силы трения скольжения $F_{тр.ск.2} = \mu_{2}m_{2}g \cos \alpha$, то тела соскальзывают с одинаковым ускорением.
Запишем уравнения движения в направлении соскальзывания, для тела $m_{2}$:
$m_{2}a = m_{2}g \sin \alpha - F_{тр.2}$,
для $m_{1}$:
$m_{1}a = m_{1}g \sin \alpha - \mu_{1}N_{1} + F_{тр.2}$,
где $N_{1} = (m_{1} + m_{2})g \cos \alpha$.
Сложим эти уравнения (тем самым исключая $F_{тр.2}$) и найдем ускорение $a$
$(m_{1} + m_{2})a = (m_{1} + m_{2})g \sin \alpha - (m_{1} + m_{2}) \mu_{1}$,
т. е. $a = g ( \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha )$.
Проверим, что при соскальзывании обоих тел с таким ускорением $F_{тр.2}$ не превышает силы трения скольжения. Из баланса сил находим:
$F_{тр.2} = m_{2}g \sin \alpha - m_{2}a = m_{2}g \mu_{1} \cos \alpha$.
Учитывая, что по условию задачи $\mu_{1} < \mu_{2}$, очевидно что выполняется неравенство $F_{тр.2} < \mu_{2}m_{2}g \cos \alpha$. То есть тела действительно не скользят друг относительно друга и двигаются с общим ускорением
$a = g( \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha )$.
2) Для нахождения ускорения клина $a_{0}$, при котором тела покоятся относительно клина, перейдем в (неинерциальную) систему отсчета, связанную с клином. Силы, действующие на тела в данной системе отсчета, изображены на рисунке.
Запишем уравнения движения в направлении параллельном плоскости клина (учитывая что оба тела покоятся относительно клина):
$0 = m_{1}g \sin \alpha - \mu_{1}N_{1} + F_{тр.2} - m_{1}a_{0} \cos \alpha$,
$0 = m_{2}g \sin \alpha - F_{тр.2} - m_{2}a_{0} \cos \alpha$,
где $N = (m_{1} + m_{2})(g \cos \alpha + a_{0} \sin \alpha )$.
Исключим $F_{тр.2}$ и найдем $a_{0}$:
$(m_{1} + m_{2})g \sin \alpha - \mu_{1} (m_{1} + m_{2})(g \cos \alpha + a_{0} \sin \alpha ) - (m_{1} + m_{2}) a_{0} \cos \alpha = 0$,
$-(m_{1} + m_{2} ) a_{0} \cos \alpha = 0$,
т. е.
$a_{0} = g \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha }$.
Проверим, что $F_{тр.2}$ не превышает порогового значения:
$F_{тр.2} = m_{2}g \left ( \sin \alpha - \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha } \cos \alpha \right ) = m_{2}g \left ( \sin \alpha - \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{2} \sin \alpha } \cos \alpha \right ) \simeq 0,11m_{2}g$
должно быть меньше, чем
$F_{тр.ск.2} = m_{2}g \mu_{2} \left ( \cos \alpha + \frac{a_{0} }{g} \sin \alpha \right ) = m_{2}g \mu_{2} \left ( \cos \alpha + \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha } \sin \alpha \right ) \simeq 0,22m_{2}$
т. е. сила трения меньше предельной, и оба тела будут покоиться при
$a_{0} = g \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha } = g \frac{0,5 - 0,1 \cdot 0,866}{0,866 + 0,1 \cdot 0,5} \simeq 0,455g = 4,5 м/с^{2}$ ($g = 10 м/с^{2}$).
Тело массой $m_{1} = 2 кг$ находится на наклонной поверхности покоящегося клина, образующей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом. На нем лежит брусок массой $m_{2} = 1 кг$. Коэффициент трения между телом и поверхностью $\mu_{1} = 0,1$, между телом и бруском - $\mu_{2} = 0,2$.
1) Найдите ускорения тела $a_{1}$ и бруска $a_{2}$.
2) Возможно ли, что при некотором горизонтальном ускорении клина тела будут покоиться относительно него, не отрываясь от его поверхности и друг друга? Если да, то найдите минимальное такое ускорение.
Решение:
На каждое из тел действуют сила тяжести, сила трения и сила реакции опоры (см. рисунок).
1) Найдем ускорения тел.
Поскольку не очевидно, будут ли тела скользить друг относительно друга, предположим, что они скользят с одинаковым ускорением $a$, и проверим, возможно ли это: если сила трения второго тела о первое меньше силы трения скольжения $F_{тр.ск.2} = \mu_{2}m_{2}g \cos \alpha$, то тела соскальзывают с одинаковым ускорением.
Запишем уравнения движения в направлении соскальзывания, для тела $m_{2}$:
$m_{2}a = m_{2}g \sin \alpha - F_{тр.2}$,
для $m_{1}$:
$m_{1}a = m_{1}g \sin \alpha - \mu_{1}N_{1} + F_{тр.2}$,
где $N_{1} = (m_{1} + m_{2})g \cos \alpha$.
Сложим эти уравнения (тем самым исключая $F_{тр.2}$) и найдем ускорение $a$
$(m_{1} + m_{2})a = (m_{1} + m_{2})g \sin \alpha - (m_{1} + m_{2}) \mu_{1}$,
т. е. $a = g ( \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha )$.
Проверим, что при соскальзывании обоих тел с таким ускорением $F_{тр.2}$ не превышает силы трения скольжения. Из баланса сил находим:
$F_{тр.2} = m_{2}g \sin \alpha - m_{2}a = m_{2}g \mu_{1} \cos \alpha$.
Учитывая, что по условию задачи $\mu_{1} < \mu_{2}$, очевидно что выполняется неравенство $F_{тр.2} < \mu_{2}m_{2}g \cos \alpha$. То есть тела действительно не скользят друг относительно друга и двигаются с общим ускорением
$a = g( \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha )$.
2) Для нахождения ускорения клина $a_{0}$, при котором тела покоятся относительно клина, перейдем в (неинерциальную) систему отсчета, связанную с клином. Силы, действующие на тела в данной системе отсчета, изображены на рисунке.
Запишем уравнения движения в направлении параллельном плоскости клина (учитывая что оба тела покоятся относительно клина):
$0 = m_{1}g \sin \alpha - \mu_{1}N_{1} + F_{тр.2} - m_{1}a_{0} \cos \alpha$,
$0 = m_{2}g \sin \alpha - F_{тр.2} - m_{2}a_{0} \cos \alpha$,
где $N = (m_{1} + m_{2})(g \cos \alpha + a_{0} \sin \alpha )$.
Исключим $F_{тр.2}$ и найдем $a_{0}$:
$(m_{1} + m_{2})g \sin \alpha - \mu_{1} (m_{1} + m_{2})(g \cos \alpha + a_{0} \sin \alpha ) - (m_{1} + m_{2}) a_{0} \cos \alpha = 0$,
$-(m_{1} + m_{2} ) a_{0} \cos \alpha = 0$,
т. е.
$a_{0} = g \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha }$.
Проверим, что $F_{тр.2}$ не превышает порогового значения:
$F_{тр.2} = m_{2}g \left ( \sin \alpha - \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha } \cos \alpha \right ) = m_{2}g \left ( \sin \alpha - \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{2} \sin \alpha } \cos \alpha \right ) \simeq 0,11m_{2}g$
должно быть меньше, чем
$F_{тр.ск.2} = m_{2}g \mu_{2} \left ( \cos \alpha + \frac{a_{0} }{g} \sin \alpha \right ) = m_{2}g \mu_{2} \left ( \cos \alpha + \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha } \sin \alpha \right ) \simeq 0,22m_{2}$
т. е. сила трения меньше предельной, и оба тела будут покоиться при
$a_{0} = g \frac{ \sin \alpha - \mu_{1} \cos \alpha }{ \cos \alpha + \mu_{1} \sin \alpha } = g \frac{0,5 - 0,1 \cdot 0,866}{0,866 + 0,1 \cdot 0,5} \simeq 0,455g = 4,5 м/с^{2}$ ($g = 10 м/с^{2}$).
