Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14500
2020-12-04 
Определите силу натяжения троса, связывающего два одинаковых спутника массой $m = 10 т$, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_{1} = 8250 км$, и $R_{2} = 8470 км$ от ее центра так, что трос всегда ориентирован на центр Земли. Масса Земли $M = 5,97 \cdot 10^{24} кг$.
Решение:
Запишем II закон Ньютона для спутников:
$\begin{cases} \vec{F}_{1} + \vec{T}_{1} + \vec{f}_{12} = m \vec{a}_{1}, \\ \vec{F}_{2} + \vec{T}_{2} + \vec{f}_{21} = m \vec{a}_{2}, \end{cases}$
где $F_{i}$ - гравитационная сила, действующая на $i$-тый спутник со стороны Земли, $f_{ij}$ - сила гравитационного взаимодействия между спутниками $i$ и $j$, $T_{i}$ - сила натяжения троса. Из условий нерастяжимости троса, а так же из третьего закона Ньютона мы можем записать $\vec{T}_{1} = \vec{T}_{2} = \vec{T}$ и $\vec{f}_{12} = \vec{f}_{21} = \vec{f}$.
Спроецируем уравнения на нормаль к поверхности Земли:
$\begin{cases} \frac{GMm}{R_{1}^{2} } - T - f = m \omega^{2}R_{1}, \\ \frac{GMm}{R_{2}^{2} } + T + f = m \omega^{2}R_{2}, \end{cases}$
где $\omega$ - угловая скорость движения по окружности.
Данную систему уравнений можно разрешить стандартным способами относительно $T$ и $\omega$, подставив явное выражение для силы $f$.
$T = Gm \left [ \frac{M(R_{2}^{3} - R_{1}^{3} )}{(R_{2} + R_{1} )(R_{1}R_{2} )^{2} } - \frac{m}{(R_{2} - R_{1} )^{2} } \right ]$.
Считая длину троса $l = R_{2} - R_{1}$ много меньше радиуса орбит, можно упростить это выражение:
$R_{2}^{3} - R_{1}^{3} = (R_{2} - R_{1})(R_{2}^{2} + R_{1}R_{2} + R_{1}^{2}) \approx 3lR^{2}$;
$R_{1}R_{2} \approx R^{2}$;
$R_{2} + R_{1} \approx 2R$;
$T = Gm \left ( \frac{3Ml}{2R^{3} } - \frac{m}{l^{2} } \right )$.
Считая радиусы орбит малыми по сравнению с расстоянием $r = l \sqrt[3]{ \frac{3M}{2m} }$, на котором $T(r) = 0$, пренебрегаем вторым членом:
$T = \frac{3GMml}{2R^{3} } \simeq 3000 Н$.
Определите силу натяжения троса, связывающего два одинаковых спутника массой $m = 10 т$, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_{1} = 8250 км$, и $R_{2} = 8470 км$ от ее центра так, что трос всегда ориентирован на центр Земли. Масса Земли $M = 5,97 \cdot 10^{24} кг$.
Решение:
Запишем II закон Ньютона для спутников:
$\begin{cases} \vec{F}_{1} + \vec{T}_{1} + \vec{f}_{12} = m \vec{a}_{1}, \\ \vec{F}_{2} + \vec{T}_{2} + \vec{f}_{21} = m \vec{a}_{2}, \end{cases}$
где $F_{i}$ - гравитационная сила, действующая на $i$-тый спутник со стороны Земли, $f_{ij}$ - сила гравитационного взаимодействия между спутниками $i$ и $j$, $T_{i}$ - сила натяжения троса. Из условий нерастяжимости троса, а так же из третьего закона Ньютона мы можем записать $\vec{T}_{1} = \vec{T}_{2} = \vec{T}$ и $\vec{f}_{12} = \vec{f}_{21} = \vec{f}$.
Спроецируем уравнения на нормаль к поверхности Земли:
$\begin{cases} \frac{GMm}{R_{1}^{2} } - T - f = m \omega^{2}R_{1}, \\ \frac{GMm}{R_{2}^{2} } + T + f = m \omega^{2}R_{2}, \end{cases}$
где $\omega$ - угловая скорость движения по окружности.
Данную систему уравнений можно разрешить стандартным способами относительно $T$ и $\omega$, подставив явное выражение для силы $f$.
$T = Gm \left [ \frac{M(R_{2}^{3} - R_{1}^{3} )}{(R_{2} + R_{1} )(R_{1}R_{2} )^{2} } - \frac{m}{(R_{2} - R_{1} )^{2} } \right ]$.
Считая длину троса $l = R_{2} - R_{1}$ много меньше радиуса орбит, можно упростить это выражение:
$R_{2}^{3} - R_{1}^{3} = (R_{2} - R_{1})(R_{2}^{2} + R_{1}R_{2} + R_{1}^{2}) \approx 3lR^{2}$;
$R_{1}R_{2} \approx R^{2}$;
$R_{2} + R_{1} \approx 2R$;
$T = Gm \left ( \frac{3Ml}{2R^{3} } - \frac{m}{l^{2} } \right )$.
Считая радиусы орбит малыми по сравнению с расстоянием $r = l \sqrt[3]{ \frac{3M}{2m} }$, на котором $T(r) = 0$, пренебрегаем вторым членом:
$T = \frac{3GMml}{2R^{3} } \simeq 3000 Н$.
