2020-12-04
Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС расположен перед тонкой рассеивающей линзой силой 5 дптр так, что его катет ВС лежит параллельно главной оптической оси линзы, а катет АС ей перпендикулярен. Расстояние от центра линзы до точки А, лежащей на главной оптической оси, равно удвоенному фокусному расстоянию линзы, АС = 20 см. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.
Решение:
Фокусное расстояние линзы силой 5 дптр равно $F = \frac{1}{D} = 20 см$, следовательно, расстояние от точки А до линзы - 40 см, до точки В - 60 см (так как ВС = АС = 20 см).
Пусть $d$ - расстояние от точки до линзы, $d^{ \prime}$ - расстояние от изображения точки до линзы. Так как линза рассеивающая, фокусное расстояние $F$ входит в формулу со знаком минус. Тогда:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{d^{ \prime} } = \frac{1}{-F}$
$d^{ \prime } = \frac{-dF}{d + F}$
Для точки $B$: $d^{ \prime} = \frac{-60 \cdot 20}{60 + 20} = -15 см$, то есть изображение этой точки мнимое и находится на расстоянии 15 см слева от линзы.
Для точек $A$ и $C$: $d^{ \prime} = \frac{- 40 \cdot 20}{40 + 20} = - \frac{40}{3} см$, то есть избражения мнимые и находится на расстоянии $\frac{40}{3} см$ слева от линзы.
Пусть $h$ - расстояние от оптической оси до точки, $h^{ \prime}$ - расстояние от оптической оси до изображения точки. Тогда выполнено:
$\frac{d}{d^{ \prime} } = \frac{h}{h^{ \prime} }; h^{ \prime} = \frac{h \cdot d^{ \prime } }{d}$.
Для точки $B$: $h^{ \prime } = \frac{20 \cdot 15}{60} = 5 см$.
Для точки $C$: $h^{ \prime } = \frac{20 \cdot 40 }{3 \cdot 40} = \frac{20}{3} см$.
Изображение треугольника:
Здесь $B^{ \prime}H^{ \prime} = 15 - \frac{40}{3} = \frac{5}{3} см$.
Площадь треугольника $S = \frac{B^{ \prime}H^{ \prime} \cdot A^{ \prime}C^{ \prime} }{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{50}{9} \approx 5,6 см^{2}$.