Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14482
2020-11-28 
Цилиндр массой $m$ раскрутили и поместили между двумя стенками (рис.), угол между которыми равен $2 \alpha$. Определить силы, с которыми цилиндр действует на стенки, и условие, при котором цилиндр подниматься вверх по одной из стен. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостями стенок равен $\mu$.
Решение:
На цилиндр действуют силы $N_{1}$ и $N_{2}$ нормальных реакций стенок, силы трения $F_{1}$ и $F_{2}$ и сила тяжести $mg$ (рис.). Поверхность цилиндра скользит по стенкам, поэтому $F_{1} = \mu N_{1}$ и $F_{2} = \mu N_{2}$. Поскольку цилиндр находится в равновесии, то сумма проекций на любую ось всех сил, действующих на него, должна равняться нулю. Спроектируем все силы на две взаимно перпендикулярные оси - горизонтальную и вертикальную:
$N_{1} \sin \alpha + N_{2} \sin \alpha + \mu N_{1} \cos \alpha - \mu N_{2} \cos \alpha = mg$;
$\mu N_{1} \sin \alpha - N_{1} \cos \alpha + N_{2} \cos \alpha + \mu N_{2} \sin \alpha = 0$.
Поделим левые и правые части этих уравнений на $\cos \alpha$:
$(N_{1} + N_{2}) \mu tg \alpha - N_{1} + N_{2} = 0$ и $(N_{1} + N_{2} ) tg \alpha + \mu N_{1} - \mu N_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha }$.
Решив эти уравнения относительно $N_{1}$ и $N_{2}$, получим $N_{1} = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 + \mu tg \alpha }{2tg \alpha (1 + \mu^{2} ) }; N_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 - \mu tg \alpha }{2 tg \alpha (1 + \mu^{2} )}$. Тогда силы трения
$F_{1} = \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha } \frac{1 + \mu tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + \mu^{2} ) }$;
$F_{2} = \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha } \frac{1 - \mu tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + \mu^{2} ) }$.
Полные силы, действующие со стороны стенок на цилиндр, равны
$R_{1} = N_{1} \sqrt{1 + \mu^{2} } = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 + \mu tg \alpha }{2tg \alpha \sqrt{1 + \mu^{2} } }$;
$R_{2} = N_{2} \sqrt{1 + \mu^{2} } = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 - \mu tg \alpha }{2tg \alpha \sqrt{1 + \mu^{2} } }$.
Согласно третьему закону Ньютона с такими же по величине силами цилиндр действует на стенки.
Поскольку сила $N_{2}$ не может быть отрицательной, то решение будет правильным при условии $\mu tg \alpha \leq 1$. Если $\mu > \frac{1}{tg \alpha}$, то $N_{2} = 0$ и $F_{2} = 0$. В этом случае цилиндр или находится в покое, не прикасаясь к правой наклонной стенки, или же поднимается вверх по левой наклонной стенке.
Цилиндр массой $m$ раскрутили и поместили между двумя стенками (рис.), угол между которыми равен $2 \alpha$. Определить силы, с которыми цилиндр действует на стенки, и условие, при котором цилиндр подниматься вверх по одной из стен. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостями стенок равен $\mu$.
Решение:
На цилиндр действуют силы $N_{1}$ и $N_{2}$ нормальных реакций стенок, силы трения $F_{1}$ и $F_{2}$ и сила тяжести $mg$ (рис.). Поверхность цилиндра скользит по стенкам, поэтому $F_{1} = \mu N_{1}$ и $F_{2} = \mu N_{2}$. Поскольку цилиндр находится в равновесии, то сумма проекций на любую ось всех сил, действующих на него, должна равняться нулю. Спроектируем все силы на две взаимно перпендикулярные оси - горизонтальную и вертикальную:
$N_{1} \sin \alpha + N_{2} \sin \alpha + \mu N_{1} \cos \alpha - \mu N_{2} \cos \alpha = mg$;
$\mu N_{1} \sin \alpha - N_{1} \cos \alpha + N_{2} \cos \alpha + \mu N_{2} \sin \alpha = 0$.
Поделим левые и правые части этих уравнений на $\cos \alpha$:
$(N_{1} + N_{2}) \mu tg \alpha - N_{1} + N_{2} = 0$ и $(N_{1} + N_{2} ) tg \alpha + \mu N_{1} - \mu N_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha }$.
Решив эти уравнения относительно $N_{1}$ и $N_{2}$, получим $N_{1} = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 + \mu tg \alpha }{2tg \alpha (1 + \mu^{2} ) }; N_{2} = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 - \mu tg \alpha }{2 tg \alpha (1 + \mu^{2} )}$. Тогда силы трения
$F_{1} = \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha } \frac{1 + \mu tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + \mu^{2} ) }$;
$F_{2} = \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha } \frac{1 - \mu tg \alpha}{2 tg \alpha (1 + \mu^{2} ) }$.
Полные силы, действующие со стороны стенок на цилиндр, равны
$R_{1} = N_{1} \sqrt{1 + \mu^{2} } = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 + \mu tg \alpha }{2tg \alpha \sqrt{1 + \mu^{2} } }$;
$R_{2} = N_{2} \sqrt{1 + \mu^{2} } = \frac{mg}{ \cos \alpha } \frac{1 - \mu tg \alpha }{2tg \alpha \sqrt{1 + \mu^{2} } }$.
Согласно третьему закону Ньютона с такими же по величине силами цилиндр действует на стенки.
Поскольку сила $N_{2}$ не может быть отрицательной, то решение будет правильным при условии $\mu tg \alpha \leq 1$. Если $\mu > \frac{1}{tg \alpha}$, то $N_{2} = 0$ и $F_{2} = 0$. В этом случае цилиндр или находится в покое, не прикасаясь к правой наклонной стенки, или же поднимается вверх по левой наклонной стенке.
