2020-11-28
На расстоянии $l$ от небольшого экрана E содержится точечный источник света S. Между экраном и источником поместили плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $\frac{1}{3}l$. Оказалось, что освещенность экрана не изменилась. Какая часть энергии света теряется при прохождении через пластинку? Показатель преломления стекла $n = 1,5$.
Решение:
Если бы потерь энергии не было, то освещенность экрана при наличии пластинки возросла бы, поскольку изображение источника света получается ближе к экрану, чем сам источник, а сила света источника и изображения одинакова. Справедливость последнего утверждения доказывается тем, что угол между любыми двумя лучами, которые выходят из пластинки, равен углу между лучами к пластинке, и следовательно, тот же самый световой поток от источника и от изображения идет в одинаковые телесные углы.
Определим положение изображения (рис.). При этом учтем, что размеры экрана небольшие, и следовательно, углы $\alpha$ и $\beta$ малые, так что $\sin \alpha \approx tg \alpha \approx \alpha$ и $\sin \beta \approx tg \beta \approx \beta$. На рисунке для наглядности углы показаны большими. Проследим за лучом SABC. На первом
участке его смещение от оси равно $\frac{l}{3} tg \alpha \approx \alpha \frac{l}{3}$, на втором $\frac{l}{3} tg \beta \approx \frac{l}{3} \beta$ и на третьем $\frac{l}{3} \alpha$. Учитывая, что $\sin \beta = \frac{ \sin \alpha }{n}$ или $\beta \approx \frac{ \alpha }{n}$, получим $OC = \frac{l \alpha }{3n} (2n + 1)$. С другой стороны, $OC = l_{1} tg \alpha \approx l_{1} \alpha$. Приравняем правые части последних равенств: $l_{1} \alpha = \frac{l \alpha }{3n} (2n + 1)$, откуда $l_{1} = l \frac{2n + 1}{3n}$. Если бы в пластинке потерь энергии не было, то отношение освещенностей с пластинкой и без нее было бы $\frac{E_{1} }{E} = \left ( \frac{l}{l_{1} } \right )^{2} = \left ( \frac{3n}{2n + 1} \right )^{2}$. Поскольку в действительности освещенность экрана не изменилась, то для искомой части потраченной энергии можно записать $k = \frac{E_{1} - E }{E_{1} } = \frac{5n^{2} - 4n - 1 }{9n^{2} } = \frac{17}{18}, k = 21$%.