Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14476
2020-11-28 
Два жестких невесомых стержня длиной $l$ каждый скреплены шарниром. На концах стержней закреплены шарики массами $m$ и $2m$, масса шарнира $m$ (рис.). Стержни составили вместе и поставили вертикально на гладкий стол, после чего шарики начинают разъезжаться в стороны. Какую скорость будет иметь шарнир перед ударом об стол? Какую он будет иметь скорость на высоте $\frac{1}{2}l$?
Решение:
Перед ударом шарнира о стол все шарики должны иметь одинаковую горизонтальную скорость, следовательно, она равна нулю. Отсюда следует, что вертикальная скорость шарнира равна $v = \sqrt{2gl}$. Для произвольного момента времени введем обозначения; $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$ и $\alpha$ (рис.). Запишем теперь закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось: $mu_{1} + mv_{1} - 2mu_{2} = 0$ и закон сохранения энергии: $\frac{mu_{1}^{2} }{2} + \frac{2mu_{2}^{2} }{2} + \frac{m(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ) }{2} = mgk(1 - \cos \alpha )$.
Эти уравнения содержат четыре неизвестных величины. Запишем еще два кинематических уравнений. Поскольку длина стержней одинакова, то относительно системы отсчета, связанной с шарниром, можно записать: $u_{1} - v_{1} = v_{1} + u_{2}$.
Поскольку стержни жесткие, то в отношении системы отсчета, которая движется влево со скоростью $v_{1}$, можно записать: $v_{2} \cos \alpha = (v_{1} + u_{2}) \sin \alpha$.
Из полученной системы уравнений определим $v_{1}$ и $v_{2}$. Из уравнения $u_{1} + v_{1} - 2u_{2} = 0$ и $u_{1} - v_{1} = v_{1} + u_{2}$ получим $u_{1} = 5v_{1}$ и $u_{2} = 3v_{1}$. Подставим эти значения в другие два уравнения:
$44v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 2gl (1 - \cos \alpha )$;
$v_{2}^{2} = 4v_{1} tg \alpha$.
Учитывая, что когда шарнир находится на высоте $\frac{1}{2} l$, то $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \alpha = \sqrt{3}$. Тогда $v_{1} = \sqrt{ \frac{gl}{92} }$ и $v_{2} = \sqrt{ \frac{12gl}{23} }$. Окончательно $v = \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } = \frac{7}{2} \sqrt{ \frac{gl}{23} }$.
Два жестких невесомых стержня длиной $l$ каждый скреплены шарниром. На концах стержней закреплены шарики массами $m$ и $2m$, масса шарнира $m$ (рис.). Стержни составили вместе и поставили вертикально на гладкий стол, после чего шарики начинают разъезжаться в стороны. Какую скорость будет иметь шарнир перед ударом об стол? Какую он будет иметь скорость на высоте $\frac{1}{2}l$?
Решение:
Перед ударом шарнира о стол все шарики должны иметь одинаковую горизонтальную скорость, следовательно, она равна нулю. Отсюда следует, что вертикальная скорость шарнира равна $v = \sqrt{2gl}$. Для произвольного момента времени введем обозначения; $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$ и $\alpha$ (рис.). Запишем теперь закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось: $mu_{1} + mv_{1} - 2mu_{2} = 0$ и закон сохранения энергии: $\frac{mu_{1}^{2} }{2} + \frac{2mu_{2}^{2} }{2} + \frac{m(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ) }{2} = mgk(1 - \cos \alpha )$.
Эти уравнения содержат четыре неизвестных величины. Запишем еще два кинематических уравнений. Поскольку длина стержней одинакова, то относительно системы отсчета, связанной с шарниром, можно записать: $u_{1} - v_{1} = v_{1} + u_{2}$.
Поскольку стержни жесткие, то в отношении системы отсчета, которая движется влево со скоростью $v_{1}$, можно записать: $v_{2} \cos \alpha = (v_{1} + u_{2}) \sin \alpha$.
Из полученной системы уравнений определим $v_{1}$ и $v_{2}$. Из уравнения $u_{1} + v_{1} - 2u_{2} = 0$ и $u_{1} - v_{1} = v_{1} + u_{2}$ получим $u_{1} = 5v_{1}$ и $u_{2} = 3v_{1}$. Подставим эти значения в другие два уравнения:
$44v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = 2gl (1 - \cos \alpha )$;
$v_{2}^{2} = 4v_{1} tg \alpha$.
Учитывая, что когда шарнир находится на высоте $\frac{1}{2} l$, то $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $tg \alpha = \sqrt{3}$. Тогда $v_{1} = \sqrt{ \frac{gl}{92} }$ и $v_{2} = \sqrt{ \frac{12gl}{23} }$. Окончательно $v = \sqrt{ v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } = \frac{7}{2} \sqrt{ \frac{gl}{23} }$.
