Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14472
2020-11-28 
Для регулирования напряжения на нагрузке $R_{н}$ составили электрическую схему (рис.). Сопротивление нагрузки и регулирующего реостата равны $R$. Нагрузку подключили к половине реостата. Как следует изменить положение ползунка реостата, чтобы напряжение на нагрузке осталась прежней, если напряжение на входе цепи увеличить вдвое?
Решение:
Найдем выражение для напряжения на нагрузке. Обозначим через $R_{1}$ и $R_{2}$ сопротивление частей реостата (рис.), на которые его делит ползунок. Напряжение $U$ на нагрузке равно напряжению на параллельно соединеных сопротивлений $R$ и $R_{2}$: $U = I \frac{RR_{2} }{ R + R_{2} }$, где $I = \frac{U_{вх} }{R_{1} + \frac{RR_{2} }{ R + R_{2}} }$ - сила тока в цепи.
Тогда $U = U_{вх} \frac{RR_{2} }{R_{1}(R + R_{2} ) + RR_{2} }$. Поскольку $R_{1} = R - R_{2}$, то
$U = U_{вх} \frac{RR_{2} }{R^{2} - R_{2}^{2} + RR_{2} }$.
Нам надо найти, каким должен быть значение $R_{2}$, чтобы при увеличении вдвое напряжения на входе цепи напряжение на нагрузке не изменилась. Пусть $R_{2} = kR$. Тогда выражение для напряжения на нагрузке запишем так: $U = U_{вх} \frac{k}{1 - k^{2} + k }$.
Сначала ползунок делил реостат на равные части, то есть $R_{2} = \frac{1}{2} R$, тогда $k_{1} = \frac{1}{2}$ и напряжение на нагрузке
$U_{1} = \frac{2}{5} U_{вх}$.
При увеличении напряжения на входе цепи вдвое напряжение на нагрузке будет
$U_{2} = 2U_{вх} \frac{k_{2} }{1 - k_{2}^{2} + k_{2} }$,
где $k_{2}$ - новое, искомое значение отношения $\frac{R_{2} }{R}$.
По условию задачи напряжение на нагрузке в обоих случаях должна быть одинаковым, то есть
$\frac{2}{5} U_{вх} = 2U_{вх} \frac{k_{2} }{1 - k_{2}^{2} + k_{2} }$.
Отсюда $k_{2}^{2} + 4k_{2} - 1 = 0$. Решив это уравнение, получим $k_{2} = -2 \pm \sqrt{5}$. Поскольку $k_{0} > 0$, то $k_{2} = \sqrt{5} - 2$. Следовательно, ползунок
надо передвинуть так, чтобы $R_{2} = ( \sqrt{5} - 2)R$.
Для регулирования напряжения на нагрузке $R_{н}$ составили электрическую схему (рис.). Сопротивление нагрузки и регулирующего реостата равны $R$. Нагрузку подключили к половине реостата. Как следует изменить положение ползунка реостата, чтобы напряжение на нагрузке осталась прежней, если напряжение на входе цепи увеличить вдвое?
Решение:
Найдем выражение для напряжения на нагрузке. Обозначим через $R_{1}$ и $R_{2}$ сопротивление частей реостата (рис.), на которые его делит ползунок. Напряжение $U$ на нагрузке равно напряжению на параллельно соединеных сопротивлений $R$ и $R_{2}$: $U = I \frac{RR_{2} }{ R + R_{2} }$, где $I = \frac{U_{вх} }{R_{1} + \frac{RR_{2} }{ R + R_{2}} }$ - сила тока в цепи.
Тогда $U = U_{вх} \frac{RR_{2} }{R_{1}(R + R_{2} ) + RR_{2} }$. Поскольку $R_{1} = R - R_{2}$, то
$U = U_{вх} \frac{RR_{2} }{R^{2} - R_{2}^{2} + RR_{2} }$.
Нам надо найти, каким должен быть значение $R_{2}$, чтобы при увеличении вдвое напряжения на входе цепи напряжение на нагрузке не изменилась. Пусть $R_{2} = kR$. Тогда выражение для напряжения на нагрузке запишем так: $U = U_{вх} \frac{k}{1 - k^{2} + k }$.
Сначала ползунок делил реостат на равные части, то есть $R_{2} = \frac{1}{2} R$, тогда $k_{1} = \frac{1}{2}$ и напряжение на нагрузке
$U_{1} = \frac{2}{5} U_{вх}$.
При увеличении напряжения на входе цепи вдвое напряжение на нагрузке будет
$U_{2} = 2U_{вх} \frac{k_{2} }{1 - k_{2}^{2} + k_{2} }$,
где $k_{2}$ - новое, искомое значение отношения $\frac{R_{2} }{R}$.
По условию задачи напряжение на нагрузке в обоих случаях должна быть одинаковым, то есть
$\frac{2}{5} U_{вх} = 2U_{вх} \frac{k_{2} }{1 - k_{2}^{2} + k_{2} }$.
Отсюда $k_{2}^{2} + 4k_{2} - 1 = 0$. Решив это уравнение, получим $k_{2} = -2 \pm \sqrt{5}$. Поскольку $k_{0} > 0$, то $k_{2} = \sqrt{5} - 2$. Следовательно, ползунок
надо передвинуть так, чтобы $R_{2} = ( \sqrt{5} - 2)R$.
