Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1447
2016-11-20 
Получить уравнение Бернулли.
Решение:
Пусть, для определенности, имеется стационарное течение жидкости по трубе переменного сечения в поле тяжести Земли. Пусть за малый промежуток времени объем жидкости ABCD переходит в новое положение $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$. Будем считать, что в малом объеме $ABA^{ \prime}B^{ \prime}$ скорость жидкости $v_{1}$, давление $P_{1}$ и плотность $\rho_{1}$ постоянны.
То же относится к скорости $v_{2}$, давлению $P_{2}$ и плотности $\rho_{2}$ в объеме $CDC^{ \prime}D^{ \prime}$.
При указанном переходе полная механическая энергия жидкости изменилась. Поскольку это изменение не коснулось жидкости в объеме $A^{ \prime}B^{ \prime}CD$ (условие стационарности течения), то все сводится к изменению полной механической энергии объемов $ABA^{ \prime}B^{ \prime}$ и $CDC^{ \prime}D^{ \prime}$:
$E_{2} - E_{1} = \Delta E = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mg h_{2} - \left ( \frac{mv_{1}^{2}}{2} + mgh_{1} \right )$,
где $m$ — масса жидкости в объеме $ABA^{ \prime}B^{ \prime}$ (или в объеме $CDC^{ \prime}D^{ \prime}$) и потенциальная энергия отсчитывается от 0.
Поскольку переходами механической энергии в другие виды энергии пренебрегаем (в частности, внутреннее трение в жидкости равно нулю), по закону сохранения энергии изменение механической энергии равно работе внешних сил, которыми в данном случае являются силы давления на жидкость в объеме ABCD, переходящей в объем $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$.
Работа сил, действующих на сечение АВ положительна и равна
$A_{1} = P_{1}S_{1}x_{1}$. (2)
То же для сил, действующих на сечение CD,
$A_{2} = - P_{2}S_{2}x_{2}$ (3)
(в этом случае направление действия силы на рассматриваемый объем жидкости и перемещение этого объема противоположны).
Итак, имеем:
$\Delta E = A_{1} + A_{2} = P_{A}S_{1}x_{1} - P_{2}S_{2}x_{2}$. (4)
Из условия сохранения массы жидкости:
$\rho_{1} S_{1}x_{1} = \rho_{2}S_{2}x_{2}$. (5)
Из (1,4,5) получаем уравнение Бернулли:
$P_{1} + \rho_{1} gh_{1} + \frac{ \rho_{1} v_{1}^{2}}{2} = P_{2} + \rho_{2} gh_{2} + \frac{ \rho_{2} v_{2}^{2}}{2}$.
Полагая в уравнении Бернулли
$P_{1} = P_{2} = p_{0}, \rho_{1} = \rho_{2} = \rho$ и $h_{1} - h_{2} = H, v_{1} = 0$,
приходим к формуле Торичелли:
$v_{2} = v \sqrt{2gH}$.
Получить уравнение Бернулли.
Решение:
Пусть, для определенности, имеется стационарное течение жидкости по трубе переменного сечения в поле тяжести Земли. Пусть за малый промежуток времени объем жидкости ABCD переходит в новое положение $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$. Будем считать, что в малом объеме $ABA^{ \prime}B^{ \prime}$ скорость жидкости $v_{1}$, давление $P_{1}$ и плотность $\rho_{1}$ постоянны.
То же относится к скорости $v_{2}$, давлению $P_{2}$ и плотности $\rho_{2}$ в объеме $CDC^{ \prime}D^{ \prime}$.
При указанном переходе полная механическая энергия жидкости изменилась. Поскольку это изменение не коснулось жидкости в объеме $A^{ \prime}B^{ \prime}CD$ (условие стационарности течения), то все сводится к изменению полной механической энергии объемов $ABA^{ \prime}B^{ \prime}$ и $CDC^{ \prime}D^{ \prime}$:
$E_{2} - E_{1} = \Delta E = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mg h_{2} - \left ( \frac{mv_{1}^{2}}{2} + mgh_{1} \right )$,
где $m$ — масса жидкости в объеме $ABA^{ \prime}B^{ \prime}$ (или в объеме $CDC^{ \prime}D^{ \prime}$) и потенциальная энергия отсчитывается от 0.
Поскольку переходами механической энергии в другие виды энергии пренебрегаем (в частности, внутреннее трение в жидкости равно нулю), по закону сохранения энергии изменение механической энергии равно работе внешних сил, которыми в данном случае являются силы давления на жидкость в объеме ABCD, переходящей в объем $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$.
Работа сил, действующих на сечение АВ положительна и равна
$A_{1} = P_{1}S_{1}x_{1}$. (2)
То же для сил, действующих на сечение CD,
$A_{2} = - P_{2}S_{2}x_{2}$ (3)
(в этом случае направление действия силы на рассматриваемый объем жидкости и перемещение этого объема противоположны).
Итак, имеем:
$\Delta E = A_{1} + A_{2} = P_{A}S_{1}x_{1} - P_{2}S_{2}x_{2}$. (4)
Из условия сохранения массы жидкости:
$\rho_{1} S_{1}x_{1} = \rho_{2}S_{2}x_{2}$. (5)
Из (1,4,5) получаем уравнение Бернулли:
$P_{1} + \rho_{1} gh_{1} + \frac{ \rho_{1} v_{1}^{2}}{2} = P_{2} + \rho_{2} gh_{2} + \frac{ \rho_{2} v_{2}^{2}}{2}$.
Полагая в уравнении Бернулли
$P_{1} = P_{2} = p_{0}, \rho_{1} = \rho_{2} = \rho$ и $h_{1} - h_{2} = H, v_{1} = 0$,
приходим к формуле Торичелли:
$v_{2} = v \sqrt{2gH}$.
