Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14468
2020-11-28 
На пружине жесткостью $K = 5 Н/м$ подвешена чаша массой $m_{1} = 0,9 кг$. С высоты $H = 10 см$ на чашу свободно падает грузик массой $m_{2} = 0,1 кг$. Чаша с грузом после этого осуществляет гармонические колебания в вертикальной плоскости. Вычислить амплитуду этих колебаний. Удар грузила о чашу считать абсолютно неупругим.
Решение:
Амплитуду $A$ колебательного движения чаши определим по формуле $A = x - y$, где $x$ - наибольше удлинение пружины при колебаниях, а $y = \frac{m_{1} + m_{2} }{k} g$ - удлинение, обусловленное действием силы тяжести чаши и грузила. Надо определить $x$.
В момент, когда пружина максимально растянутая, вся энергия системы является потенциальной энергией упругой деформации пружины (за начало отсчета высот принимаем наинизшее положение чаши с грузом). Согласно закону сохранения энергии
$\frac{1}{2} kx^{2} = \frac{1}{2} kx_{0}^{2} + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} ) v_{1}^{2} + (m_{1} + m_{2} )g(x - x_{0} )$,
где $x_{0} = \frac{m_{1}g }{k}$ - удлинение пружины под действием силы тяжести чаши, $v_{1} = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sqrt{2gh}$.
Подставив значения $x_{0}$ и $v_{1}$, после упрощений получим квадратное уравнение
$kx^{2} - 2(m_{1} + m_{2} )gx - \left ( \frac{2m_{2}^{2}gh }{m_{1} + m_{2} } - \frac{m_{1}g^{2} (m_{1} + 2m_{2} ) }{k} \right ) = 0$.
Условие задачи удовлетворяет положительное значение корня
$x = \frac{m_{1} + m_{2} }{k} g + \sqrt{ \frac{m_{2}^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{2ghm_{2}^{2} }{k(m_{1} + m_{2} )} }$.
тогда
$A = \sqrt{ \frac{m_{2}^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{2ghm_{2}^{2} }{k(m_{1} + m_{2} ) } } = \frac{m_{2}g }{k} \sqrt{ 1 + \frac{2kh}{(m_{1} + m_{2} )g} } \approx 20,6 см$.
На пружине жесткостью $K = 5 Н/м$ подвешена чаша массой $m_{1} = 0,9 кг$. С высоты $H = 10 см$ на чашу свободно падает грузик массой $m_{2} = 0,1 кг$. Чаша с грузом после этого осуществляет гармонические колебания в вертикальной плоскости. Вычислить амплитуду этих колебаний. Удар грузила о чашу считать абсолютно неупругим.
Решение:
Амплитуду $A$ колебательного движения чаши определим по формуле $A = x - y$, где $x$ - наибольше удлинение пружины при колебаниях, а $y = \frac{m_{1} + m_{2} }{k} g$ - удлинение, обусловленное действием силы тяжести чаши и грузила. Надо определить $x$.
В момент, когда пружина максимально растянутая, вся энергия системы является потенциальной энергией упругой деформации пружины (за начало отсчета высот принимаем наинизшее положение чаши с грузом). Согласно закону сохранения энергии
$\frac{1}{2} kx^{2} = \frac{1}{2} kx_{0}^{2} + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2} ) v_{1}^{2} + (m_{1} + m_{2} )g(x - x_{0} )$,
где $x_{0} = \frac{m_{1}g }{k}$ - удлинение пружины под действием силы тяжести чаши, $v_{1} = \frac{m_{2} }{m_{1} + m_{2} } \sqrt{2gh}$.
Подставив значения $x_{0}$ и $v_{1}$, после упрощений получим квадратное уравнение
$kx^{2} - 2(m_{1} + m_{2} )gx - \left ( \frac{2m_{2}^{2}gh }{m_{1} + m_{2} } - \frac{m_{1}g^{2} (m_{1} + 2m_{2} ) }{k} \right ) = 0$.
Условие задачи удовлетворяет положительное значение корня
$x = \frac{m_{1} + m_{2} }{k} g + \sqrt{ \frac{m_{2}^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{2ghm_{2}^{2} }{k(m_{1} + m_{2} )} }$.
тогда
$A = \sqrt{ \frac{m_{2}^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{2ghm_{2}^{2} }{k(m_{1} + m_{2} ) } } = \frac{m_{2}g }{k} \sqrt{ 1 + \frac{2kh}{(m_{1} + m_{2} )g} } \approx 20,6 см$.
