Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14466
2020-11-28 
Однородную тонкую сферическую оболочку массой $m$ и радиусом $R$ разрезали на две части плоскостью, проходящей на расстоянии $h < R$ от центра сферы (рис.). С какой силой притягиваются эти частицы сферы? С какой силой они будут отталкиваться, если сферу зарядить зарядом $Q$?
Решение:
Элемент поверхности сферы $\Delta S$ имеет массу $m_{1} = \frac{m}{4 \pi R^{2} } \Delta S$. Определим, с какой силой этот элемент притягивается остальной сферой. Рассмотрим рис. Введем обозначения: $l = 2 R \cos \phi; r = R \sin 2 \phi = 2R \sin \phi \cos \phi; d(2 \phi ) = 2d \phi; dS = 2 \pi r Rd (2 \phi ) = 8 \pi R^{2} \sin \phi \cos \phi d \phi; dm = \frac{m}{4 \pi R^{2} } dS$. Тогда
$dF = \gamma \frac{m_{1}dm }{l^{2} } \cos \phi$.
Подставив значения $dm$ и $l$ и проинтегрировав по $\phi$ от 0 до $\frac{ \pi}{2}$, получим
$F = \gamma \frac{mm_{1} }{2R^{2} } = \gamma \frac{m^{2} }{8 \pi R^{4} } \Delta S$.
Из последней формулы видно, что взаимное гравитационное притяжение элемента оболочки $\Delta S$ и остальных оболочек эквивалентно воздействия на оболочку определенного внешнего давления:
$p = \frac{F}{ \Delta S} = \gamma \frac{m^{2} }{8 \pi R^{4} }$.
Сила $F_{г}$, с которой притягиваются обе части оболочки, равна силе давления на площадь раздела частей $S$:
$F_{г} = pS = \gamma \frac{m^{2} }{2 \pi R^{4} } \pi (R^{2} - h^{2} ) = \gamma \frac{m^{2} }{8R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$.
Электрический заряд $q$ равномерно распределен по поверхности оболочки. На основе симметрии очевидно, что электростатическое сила, действующая на каждый элемент поверхности, направлена ??нормально к поверхности. Для нахождения этой силы предположим, что радиус оболочки увеличился на очень малую величину $\delta$. Тогда растягивающие сила электростатического отталкивания выполняет работу $A = 4 \pi R^{2} p \delta$, где $p$ - давление на поверхность оболочки. Эта работа выполняется за счет уменьшения электростатической энергии. Сначала электростатическая энергия была $\frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}R }$, после растягивания $\frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} (R + \delta ) }$.
Изменение энергии $\frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}R } - \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} (R + \delta ) } = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \delta }{R(R + \delta )}$ равно работе $A$, то есть $4 \pi R^{2}p \delta = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \delta }{R(R + \delta )}$.
Учитывая, что $\delta$ - очень малая величина, получим
$p = \frac{q^{2} }{32 \pi^{2} \epsilon_{0}R^{4} }$.
Для нахождения результирующей $F_{2}$ сил электростатического давления, которые действуют, например, на верхнюю часть оболочки, можно представить себе жесткую оболочку, которая имеет такую ??же форму (рис.). Если внутри такой оболочки содержится газ под давлением $p$, то сила давления этого газа в «крышку» оболочки совпадает с искомой силой $F_{e}$. Но совершенно ясно, что такая же по величине сила действует на «дно» этой оболочки. Поэтому $F_{e} = pS$, где $S = \pi (R^{2} - h^{2})$. Окончательно $F_{e} = pS = \frac{q^{2} }{32 \pi^{2} \epsilon_{0} R^{4} } \pi (R^{2} - h^{2} ) = \frac{q^{2} }{32 \pi \epsilon_{0} R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$. Давление $p$ можно вычислить и так. Предположим, что объем сферической оболочки увеличился на $\Delta V$. Тогда по закону сохранения энергии $p \Delta V = \frac{ \epsilon_{0} E^{2} }{2} \Delta V$.
Но $E = \frac{q}{ 4 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$, тогда $p = \frac{q^{2} }{32 \pi^{2} \epsilon_{0} R^{4} }$.
Первую половину задачи можно решить проще. Во-первых, можно аналогично на основе рассмотрения изменения энергии гравитационного поля найти гравитационное давление. А можно и сразу записать аналогично формуле силы электростатического взаимодействия силу гравитационного взаимодействия. Из формулы Кулона $F_{1} = \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$ и Ньютона $F_{2} = \gamma \frac{m_{1}m_{2} }{R^{2} }$ следует, что для этого достаточно в формулу $F_{e} = \frac{q^{2} }{32 \pi \epsilon_{0} R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$ и вместо $q^{2}$ подставить $m^{2}$, а вместо $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$ подставить $\gamma$ и получим $F_{г} = \gamma \frac{m^{2} }{ 8R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$.
Однородную тонкую сферическую оболочку массой $m$ и радиусом $R$ разрезали на две части плоскостью, проходящей на расстоянии $h < R$ от центра сферы (рис.). С какой силой притягиваются эти частицы сферы? С какой силой они будут отталкиваться, если сферу зарядить зарядом $Q$?
Решение:
Элемент поверхности сферы $\Delta S$ имеет массу $m_{1} = \frac{m}{4 \pi R^{2} } \Delta S$. Определим, с какой силой этот элемент притягивается остальной сферой. Рассмотрим рис. Введем обозначения: $l = 2 R \cos \phi; r = R \sin 2 \phi = 2R \sin \phi \cos \phi; d(2 \phi ) = 2d \phi; dS = 2 \pi r Rd (2 \phi ) = 8 \pi R^{2} \sin \phi \cos \phi d \phi; dm = \frac{m}{4 \pi R^{2} } dS$. Тогда
$dF = \gamma \frac{m_{1}dm }{l^{2} } \cos \phi$.
Подставив значения $dm$ и $l$ и проинтегрировав по $\phi$ от 0 до $\frac{ \pi}{2}$, получим
$F = \gamma \frac{mm_{1} }{2R^{2} } = \gamma \frac{m^{2} }{8 \pi R^{4} } \Delta S$.
Из последней формулы видно, что взаимное гравитационное притяжение элемента оболочки $\Delta S$ и остальных оболочек эквивалентно воздействия на оболочку определенного внешнего давления:
$p = \frac{F}{ \Delta S} = \gamma \frac{m^{2} }{8 \pi R^{4} }$.
Сила $F_{г}$, с которой притягиваются обе части оболочки, равна силе давления на площадь раздела частей $S$:
$F_{г} = pS = \gamma \frac{m^{2} }{2 \pi R^{4} } \pi (R^{2} - h^{2} ) = \gamma \frac{m^{2} }{8R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$.
Электрический заряд $q$ равномерно распределен по поверхности оболочки. На основе симметрии очевидно, что электростатическое сила, действующая на каждый элемент поверхности, направлена ??нормально к поверхности. Для нахождения этой силы предположим, что радиус оболочки увеличился на очень малую величину $\delta$. Тогда растягивающие сила электростатического отталкивания выполняет работу $A = 4 \pi R^{2} p \delta$, где $p$ - давление на поверхность оболочки. Эта работа выполняется за счет уменьшения электростатической энергии. Сначала электростатическая энергия была $\frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}R }$, после растягивания $\frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} (R + \delta ) }$.
Изменение энергии $\frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0}R } - \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} (R + \delta ) } = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \delta }{R(R + \delta )}$ равно работе $A$, то есть $4 \pi R^{2}p \delta = \frac{q^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \delta }{R(R + \delta )}$.
Учитывая, что $\delta$ - очень малая величина, получим
$p = \frac{q^{2} }{32 \pi^{2} \epsilon_{0}R^{4} }$.
Для нахождения результирующей $F_{2}$ сил электростатического давления, которые действуют, например, на верхнюю часть оболочки, можно представить себе жесткую оболочку, которая имеет такую ??же форму (рис.). Если внутри такой оболочки содержится газ под давлением $p$, то сила давления этого газа в «крышку» оболочки совпадает с искомой силой $F_{e}$. Но совершенно ясно, что такая же по величине сила действует на «дно» этой оболочки. Поэтому $F_{e} = pS$, где $S = \pi (R^{2} - h^{2})$. Окончательно $F_{e} = pS = \frac{q^{2} }{32 \pi^{2} \epsilon_{0} R^{4} } \pi (R^{2} - h^{2} ) = \frac{q^{2} }{32 \pi \epsilon_{0} R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$. Давление $p$ можно вычислить и так. Предположим, что объем сферической оболочки увеличился на $\Delta V$. Тогда по закону сохранения энергии $p \Delta V = \frac{ \epsilon_{0} E^{2} }{2} \Delta V$.
Но $E = \frac{q}{ 4 \pi \epsilon_{0} R^{2} }$, тогда $p = \frac{q^{2} }{32 \pi^{2} \epsilon_{0} R^{4} }$.
Первую половину задачи можно решить проще. Во-первых, можно аналогично на основе рассмотрения изменения энергии гравитационного поля найти гравитационное давление. А можно и сразу записать аналогично формуле силы электростатического взаимодействия силу гравитационного взаимодействия. Из формулы Кулона $F_{1} = \frac{q_{1}q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$ и Ньютона $F_{2} = \gamma \frac{m_{1}m_{2} }{R^{2} }$ следует, что для этого достаточно в формулу $F_{e} = \frac{q^{2} }{32 \pi \epsilon_{0} R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$ и вместо $q^{2}$ подставить $m^{2}$, а вместо $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} }$ подставить $\gamma$ и получим $F_{г} = \gamma \frac{m^{2} }{ 8R^{2} } \left ( 1 - \frac{h^{2} }{R^{2} } \right )$.
