Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14465
2020-11-28 
На рис. показаны два замкнутых термодинамических цикла, проведенные с идеальным одноатомного газом: 1-2-3-4 и 1-5-6-4. У какого из этих циклов коэффициент полезного действия больше и во сколько раз?
Решение:
По определению КПД цикла равно $\eta = \frac{A}{Q}$, где $A$ - работа, осуществляемая за цикл, а $Q$ - количество теплоты, которое получил газ извне. Работа, осуществляемая за цикл, численно равна площади, ограниченной контуром цикла на диаграмме pV. В данном случае работа, осуществленная за цикл 1-2-3-4, равна $A_{1} = p_{0}V_{0}$, а работа, осуществленная за цикл 1-5-6-4, равно $A_{2} = 3p_{0}V_{0}$. Теперь вычислим количество теплоты, полученной газом при нагревании в обоих циклах. Согласно первому закону термодинамики предоставлена газа количество теплоты $Q$ идет на изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ и во исполнение газом работы $\Delta A$: $Q = \Delta U + \Delta A$. Поскольку газ одноатомный, то для одного моля $\Delta U = \frac{3}{2} R \Delta T$. Отсюда видно, что изменение внутренней энергии газа при переходе из одного состояния в другое зависит только от изменения температуры газа $\Delta T$ и не зависит от того, каким способом газ переводят из одного состояния в другое.
Газ получает извне определенные количества теплоты на участках 1-5-6 и 1-2-3 циклов. Для цикла 1-5-6-4 можно записать
$Q_{2} = \Delta A_{2} + \Delta U_{2} = 4p_{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R (T_{6} - T_{1})$.
Чтобы найти температуры газа $T_{1}$ и $T_{6}$, запишем уравнение состояния идеального газа для состояний 1 и 6: $p_{0}V_{0} = \nu RT_{1}$ и $4p_{0}2V_{0} = \nu RT_{6}$, откуда $T_{1} = \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R}$ и $T_{6} = \frac{8p_{0}V_{0} }{ \nu R}$. Тогда $Q_{2} = 4p{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R \left ( \frac{8 p_{0}V_{0} }{ \nu R } - \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R } \right ) = \frac{29}{2} p_{0}V_{0}$ и $ \eta_{2} = \frac{A_{2} }{Q_{2} } = \frac{ 3p_{0}V_{0} \cdot 2 }{29 p_{0}V_{0} } = \frac{6}{29}$.
Для цикла 1-2-3-4 можно записать: $Q_{1} = \Delta A_{1} + \Delta U_{1} = 2p_{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R (T_{3} - T_{1} )$. Из уравнения газового состояния $2p_{0}2V_{0} = \nu RT_{3}$, откуда $T_{3} = \frac{4p_{0}V_{0} }{ \nu R}$. Тогда $Q_{1} = 2p_{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R \left ( \frac{4p_{0}V_{0} }{ \nu R} - \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R} \right ) = \frac{13}{2} p_{0}V_{0}$, а $\eta_{1} = \frac{A_{1} }{Q_{1} } = \frac{p_{0}V_{0} }{ \frac{13}{2} p_{0}V_{0} } = \frac{2}{13}$. Отношение $\frac{ \eta_{2} }{ \eta_{1} } = \frac{39}{29} \approx 1,34$.
На рис. показаны два замкнутых термодинамических цикла, проведенные с идеальным одноатомного газом: 1-2-3-4 и 1-5-6-4. У какого из этих циклов коэффициент полезного действия больше и во сколько раз?
Решение:
По определению КПД цикла равно $\eta = \frac{A}{Q}$, где $A$ - работа, осуществляемая за цикл, а $Q$ - количество теплоты, которое получил газ извне. Работа, осуществляемая за цикл, численно равна площади, ограниченной контуром цикла на диаграмме pV. В данном случае работа, осуществленная за цикл 1-2-3-4, равна $A_{1} = p_{0}V_{0}$, а работа, осуществленная за цикл 1-5-6-4, равно $A_{2} = 3p_{0}V_{0}$. Теперь вычислим количество теплоты, полученной газом при нагревании в обоих циклах. Согласно первому закону термодинамики предоставлена газа количество теплоты $Q$ идет на изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ и во исполнение газом работы $\Delta A$: $Q = \Delta U + \Delta A$. Поскольку газ одноатомный, то для одного моля $\Delta U = \frac{3}{2} R \Delta T$. Отсюда видно, что изменение внутренней энергии газа при переходе из одного состояния в другое зависит только от изменения температуры газа $\Delta T$ и не зависит от того, каким способом газ переводят из одного состояния в другое.
Газ получает извне определенные количества теплоты на участках 1-5-6 и 1-2-3 циклов. Для цикла 1-5-6-4 можно записать
$Q_{2} = \Delta A_{2} + \Delta U_{2} = 4p_{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R (T_{6} - T_{1})$.
Чтобы найти температуры газа $T_{1}$ и $T_{6}$, запишем уравнение состояния идеального газа для состояний 1 и 6: $p_{0}V_{0} = \nu RT_{1}$ и $4p_{0}2V_{0} = \nu RT_{6}$, откуда $T_{1} = \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R}$ и $T_{6} = \frac{8p_{0}V_{0} }{ \nu R}$. Тогда $Q_{2} = 4p{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R \left ( \frac{8 p_{0}V_{0} }{ \nu R } - \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R } \right ) = \frac{29}{2} p_{0}V_{0}$ и $ \eta_{2} = \frac{A_{2} }{Q_{2} } = \frac{ 3p_{0}V_{0} \cdot 2 }{29 p_{0}V_{0} } = \frac{6}{29}$.
Для цикла 1-2-3-4 можно записать: $Q_{1} = \Delta A_{1} + \Delta U_{1} = 2p_{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R (T_{3} - T_{1} )$. Из уравнения газового состояния $2p_{0}2V_{0} = \nu RT_{3}$, откуда $T_{3} = \frac{4p_{0}V_{0} }{ \nu R}$. Тогда $Q_{1} = 2p_{0}V_{0} + \frac{3}{2} \nu R \left ( \frac{4p_{0}V_{0} }{ \nu R} - \frac{p_{0}V_{0} }{ \nu R} \right ) = \frac{13}{2} p_{0}V_{0}$, а $\eta_{1} = \frac{A_{1} }{Q_{1} } = \frac{p_{0}V_{0} }{ \frac{13}{2} p_{0}V_{0} } = \frac{2}{13}$. Отношение $\frac{ \eta_{2} }{ \eta_{1} } = \frac{39}{29} \approx 1,34$.
