Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14452
2020-11-28 
С вершины горы, угол наклона которой к горизонту $\beta$, бросают тело со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Определить, на каком расстоянии от точки бросания, считая по склону горы, тело упадет на склон? При каком угле $\alpha$ это расстояние будет максимальным?
Решение:
Задачу можно решить несколькими способами.
1) Направим ось Оy вертикально вверх, а ось Ох - горизонтально (рис.). Тело движется по параболе, уравнение которой $y = x tg \alpha - \frac{1}{2} g \frac{x^{2} }{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }$. Координату $x$ точки В падения тела на наклонную плоскость найдем как точку пересечения параболы с прямой $y = - x tg \beta$. Совместное решение этих двух уравнений дает $x = 0$ (точка бросания) и $x = 2 \frac{v_{0}^{2} }{g} \cdot \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta }$. Тогда
$y = - \frac{2v_{0}^{2} }{g} \cdot \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) tg \beta }{ \cos \beta }$.
Расстояние $OB = d = \sqrt{x^{2} + y^{2} } = \frac{2v_{0}^{2} }{g} \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos^{2} \beta }$.
2) Согласно принципу независимости движений движение тела можно рассматривать как сумму движений вдоль осей $x^{ \prime}$ и $y^{ \prime}$ (рис). Тогда для составляющих ускорений и скоростей можно записать
$a_{x} = g \sin \beta$ и $a_{y} = - g \cos \beta; v_{0x} = v_{0} \cos ( \alpha + \beta )$ и $v_{0y} = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ); v_{x} = v_{0} \cos ( \alpha + \beta ) + g \sin \beta t$ и $v_{y} = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) - g \cos \beta t$.
Уравнения движения тела вдоль осей х и у запишем так:
$x = v_{0} \cos ( \alpha + \beta) t + \frac{1}{2} g \sin \beta t^{2}$ и $y = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) t - \frac{1}{2} g \cos \beta t^{2}$.
Определим время $T$, за которое тело долетит до точки В. Для этого в уравнение $y = 0$ подставим значение $t = T: 0 = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) T - \frac{1}{2} g \cos \beta T^{2}$, откуда $T = 0$ и $T = \frac{2 v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) }{g \cos \alpha }$. Чтобы найти расстояние OB, возьмем $x = d$ и $t = T$, тогда
$d = \frac{2v_{0}^{2} }{g} \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos^{2} \beta }$.
3) В соответствии с принципом независимости движений можно считать, что тело попадает в точку В в результате двух движений: сначала тело за время $T$ со скоростью $v_{0}$ пролетает расстояние АС (рис.), а затем за это же время свободно падает до точки В. Поскольку $AC = v_{0}T, CB = \frac{1}{2} gT^{2}$ и $AB = d$, то по теореме синусов для треугольника АВС:
$\frac{gT^{2} }{2v_{0}T } = \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \beta \right ) }$, откуда $T = \frac{2v_{0} }{g} \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta }$.
По теореме синусов можно записать
$\frac{d}{v_{0}T } = \frac{ \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right ) }{ \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \beta \right ) }$.
Можно решить и без использования теоремы синусов, учитывая, что $AD = v_{0}T \cos \alpha; CD = v_{0}T \cos \alpha tg \beta$. Тогда $\frac{1}{2} gT^{2} = v_{0}T \sin \alpha + v_{0}T \cos \alpha tg \beta = v_{0}T \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta }$. Чтобы найти $T$, запишем последнее уравнение так:
$T \left ( \frac{1}{2}gT - v_{0} \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta } \right ) = 0$, откуда $T = 0$ и $T = \frac{2v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) }{ g \cos \beta }$. Тогда
$d = \frac{v_{0}T \cos \alpha }{ \cos \beta } = \frac{2v_{0}^{2} \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{g \cos^{2} \beta }$.
Поскольку $\beta = const$, то расстояние $d$ будет максимальной при таком $\alpha$, при котором максимальное значение имеет выражение $\cos \alpha \sin ( \alpha + \beta )$. Для удобства исследования перепишем его так: $\cos \alpha \sin ( \alpha - \beta ) = \sin ( 2 \alpha + \beta ) + \sin \beta$. Максимальное значение $\sin (2 \alpha + \beta ) = 1$ будет при $2 \alpha +\beta = \frac{ \pi }{2}$, или $\alpha = \frac{ \pi }{4} - \frac{ \beta }{2}$.
С вершины горы, угол наклона которой к горизонту $\beta$, бросают тело со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Определить, на каком расстоянии от точки бросания, считая по склону горы, тело упадет на склон? При каком угле $\alpha$ это расстояние будет максимальным?
Решение:
Задачу можно решить несколькими способами.
1) Направим ось Оy вертикально вверх, а ось Ох - горизонтально (рис.). Тело движется по параболе, уравнение которой $y = x tg \alpha - \frac{1}{2} g \frac{x^{2} }{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha }$. Координату $x$ точки В падения тела на наклонную плоскость найдем как точку пересечения параболы с прямой $y = - x tg \beta$. Совместное решение этих двух уравнений дает $x = 0$ (точка бросания) и $x = 2 \frac{v_{0}^{2} }{g} \cdot \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta }$. Тогда
$y = - \frac{2v_{0}^{2} }{g} \cdot \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) tg \beta }{ \cos \beta }$.
Расстояние $OB = d = \sqrt{x^{2} + y^{2} } = \frac{2v_{0}^{2} }{g} \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos^{2} \beta }$.
2) Согласно принципу независимости движений движение тела можно рассматривать как сумму движений вдоль осей $x^{ \prime}$ и $y^{ \prime}$ (рис). Тогда для составляющих ускорений и скоростей можно записать
$a_{x} = g \sin \beta$ и $a_{y} = - g \cos \beta; v_{0x} = v_{0} \cos ( \alpha + \beta )$ и $v_{0y} = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ); v_{x} = v_{0} \cos ( \alpha + \beta ) + g \sin \beta t$ и $v_{y} = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) - g \cos \beta t$.
Уравнения движения тела вдоль осей х и у запишем так:
$x = v_{0} \cos ( \alpha + \beta) t + \frac{1}{2} g \sin \beta t^{2}$ и $y = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) t - \frac{1}{2} g \cos \beta t^{2}$.
Определим время $T$, за которое тело долетит до точки В. Для этого в уравнение $y = 0$ подставим значение $t = T: 0 = v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) T - \frac{1}{2} g \cos \beta T^{2}$, откуда $T = 0$ и $T = \frac{2 v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) }{g \cos \alpha }$. Чтобы найти расстояние OB, возьмем $x = d$ и $t = T$, тогда
$d = \frac{2v_{0}^{2} }{g} \frac{ \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos^{2} \beta }$.
3) В соответствии с принципом независимости движений можно считать, что тело попадает в точку В в результате двух движений: сначала тело за время $T$ со скоростью $v_{0}$ пролетает расстояние АС (рис.), а затем за это же время свободно падает до точки В. Поскольку $AC = v_{0}T, CB = \frac{1}{2} gT^{2}$ и $AB = d$, то по теореме синусов для треугольника АВС:
$\frac{gT^{2} }{2v_{0}T } = \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \beta \right ) }$, откуда $T = \frac{2v_{0} }{g} \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta }$.
По теореме синусов можно записать
$\frac{d}{v_{0}T } = \frac{ \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right ) }{ \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \beta \right ) }$.
Можно решить и без использования теоремы синусов, учитывая, что $AD = v_{0}T \cos \alpha; CD = v_{0}T \cos \alpha tg \beta$. Тогда $\frac{1}{2} gT^{2} = v_{0}T \sin \alpha + v_{0}T \cos \alpha tg \beta = v_{0}T \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta }$. Чтобы найти $T$, запишем последнее уравнение так:
$T \left ( \frac{1}{2}gT - v_{0} \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{ \cos \beta } \right ) = 0$, откуда $T = 0$ и $T = \frac{2v_{0} \sin ( \alpha + \beta ) }{ g \cos \beta }$. Тогда
$d = \frac{v_{0}T \cos \alpha }{ \cos \beta } = \frac{2v_{0}^{2} \cos \alpha \sin ( \alpha + \beta ) }{g \cos^{2} \beta }$.
Поскольку $\beta = const$, то расстояние $d$ будет максимальной при таком $\alpha$, при котором максимальное значение имеет выражение $\cos \alpha \sin ( \alpha + \beta )$. Для удобства исследования перепишем его так: $\cos \alpha \sin ( \alpha - \beta ) = \sin ( 2 \alpha + \beta ) + \sin \beta$. Максимальное значение $\sin (2 \alpha + \beta ) = 1$ будет при $2 \alpha +\beta = \frac{ \pi }{2}$, или $\alpha = \frac{ \pi }{4} - \frac{ \beta }{2}$.
