ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-11-28   
Проводящее кольцо радиусом $R$ находится в постоянном магнитном поле с индукцией $B$, перпендикулярно плоскости кольца. Центр кольца соединены с его окружностью двумя проволочками (рис.). Одна из проволочек (ОА) закреплена неподвижно, а вторая OD вращается вокруг центра с постоянной угловой скоростью $\omega$. Сопротивление единицы длины проволоки равна $\gamma$. Магнитные поля индукционных токов малы по сравнению с внешним магнитным полем. Определить силы тока в прямых проволочках и в дугах кольца в зависимости от угла $\phi$.



Решение:


Проволоки OA и OD делят кольцо на два контура. Во время движения проволочки OD меняется магнитный поток через оба контура и в обоих контурах возбуждаются ЭДС индукции, одинаковые по абсолютному значению, но разные по знаку относительно выбранного направления обхода контура: $| \mathcal{E}_{1} | = | \mathcal{E}_{2} | = \mathcal{E} = \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = \frac{B \Delta S}{ \Delta t} $, но $\Delta S = \frac{1}{2} R^{2} \Delta \phi$, тогда $\mathcal{E} = \frac{1}{2} BR^{2} \frac{ \Delta \phi }{ \Delta t} = \frac{1}{2} B \omega R^{2}$.


Чтобы найти силу тока, составим эквивалентную схему (рис.) и в соответствии с законами Кирхгофа запишем систему уравнений:

$I = I_{1} + I_{2}$;
$\mathcal{E} = I_{1}R_{1} + I \cdot 2 R \gamma$;
$\mathcal{E} = I_{2} R_{2} + I \cdot 2 R \gamma$.

Решив эти уравнения, получим

$I = \frac{2 \pi \mathcal{E} }{ \gamma R (4 \pi + 2 \pi \phi - \phi^{2} ) } = \frac{ \pi B \omega R}{ \gamma (4 \pi + 2 \pi \phi - \phi^{2} ) }$;
$I_{1} = \frac{ (2 \pi - \phi)B \omega R }{ 2 \gamma R (4 \pi + 2 \pi \phi - \phi^{2} ) }$;
$I_{2} = \frac{ \phi B \omega R}{ 2 \gamma (4 \pi + 2 \pi \phi - \phi^{2} ) }$;