Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14442
2020-11-28 
Гладкий шар радиусом $R$ и массой $m$ лежал на краю стола. Вследствие легкого толчка шар сползает со стола и падает на пол. На каком расстоянии от стола упадет шар, если высота стола $H = 10R$?
Решение:
К моменту отрыва от стола шар движется поступательно (скользит, не оборачиваясь). При этом ее центр тяжести движется по дуге окружности радиуса $R$. Запишем второй закон Ньютона для шара в проекции на ось Ох (рис.): $mg \cos \alpha - N = ma$, где $a = \frac{v^{2} }{R}$ - центростремительное ускорения шара. В момент отрыва шара от стола $N = 0$ и уравнение второго закона примет вид
$mg \cos \alpha = \frac{mv^{2} }{R}$,
или
$g \cos \alpha = \frac{v^{2} }{R}$. (1)
Второе уравнение для определения $v$ и $\alpha$ получим, воспользовавшись законом сохранения энергии. К моменту отрыва от стола центр шара опустился на высоту $h = R (1 - \cos \alpha)$ и по закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = mgR (1 - \cos \alpha )$. (2)
Решив уравнение (1) и (2) как систему, получим $v = \sqrt{ \frac{2}{3}gR }$ и $\alpha = arccos \frac{2}{3}$. После отрыва от стола шар летит по параболе. Начальная скорость этого движения $v = \sqrt{ \frac{2}{3} gR }$ направлена ??под углом $\alpha$ к горизонту; расстояние центра шара от стола в момент отрыва равно $\frac{ \sqrt{5} }{3} R$. Запишем уравнение движения шара в проекциях на горизонтальное и вертикальное направление: $s = \frac{ \sqrt{5} }{3}R + \sqrt{ \frac{2}{3} gR } \cos \alpha t$ и $H - R (1 - \cos \alpha ) = \sqrt{ \frac{2}{3} gR } \sin \alpha t + \frac{1}{2} gt^{2}$.
Отсюда
$s = R \left ( \frac{2}{3} \sqrt{1626} - \sqrt{5} \right )$.
Гладкий шар радиусом $R$ и массой $m$ лежал на краю стола. Вследствие легкого толчка шар сползает со стола и падает на пол. На каком расстоянии от стола упадет шар, если высота стола $H = 10R$?
Решение:
К моменту отрыва от стола шар движется поступательно (скользит, не оборачиваясь). При этом ее центр тяжести движется по дуге окружности радиуса $R$. Запишем второй закон Ньютона для шара в проекции на ось Ох (рис.): $mg \cos \alpha - N = ma$, где $a = \frac{v^{2} }{R}$ - центростремительное ускорения шара. В момент отрыва шара от стола $N = 0$ и уравнение второго закона примет вид
$mg \cos \alpha = \frac{mv^{2} }{R}$,
или
$g \cos \alpha = \frac{v^{2} }{R}$. (1)
Второе уравнение для определения $v$ и $\alpha$ получим, воспользовавшись законом сохранения энергии. К моменту отрыва от стола центр шара опустился на высоту $h = R (1 - \cos \alpha)$ и по закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = mgR (1 - \cos \alpha )$. (2)
Решив уравнение (1) и (2) как систему, получим $v = \sqrt{ \frac{2}{3}gR }$ и $\alpha = arccos \frac{2}{3}$. После отрыва от стола шар летит по параболе. Начальная скорость этого движения $v = \sqrt{ \frac{2}{3} gR }$ направлена ??под углом $\alpha$ к горизонту; расстояние центра шара от стола в момент отрыва равно $\frac{ \sqrt{5} }{3} R$. Запишем уравнение движения шара в проекциях на горизонтальное и вертикальное направление: $s = \frac{ \sqrt{5} }{3}R + \sqrt{ \frac{2}{3} gR } \cos \alpha t$ и $H - R (1 - \cos \alpha ) = \sqrt{ \frac{2}{3} gR } \sin \alpha t + \frac{1}{2} gt^{2}$.
Отсюда
$s = R \left ( \frac{2}{3} \sqrt{1626} - \sqrt{5} \right )$.
