Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14438
2020-11-28 
На неподвижное идеальное плоское зеркало массой $m$ нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы давления света зеркало начинает двигаться. Определить конечную скорость зеркала и энергию отраженного от него света, если энергия волны падающего равна $E_{0}$.
Решение:
Энергию световой волны, падающей на зеркало, обозначим $E_{0}$, энергию отраженной волны - через $E_{1}$. Сначала зеркало было в покое. Тогда закон сохранения энергии (с учетом формул $m_{1} = \frac{m_{0} }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$ и $E = mc^{2}$) можно записать:
$E_{0} + m_{0}c^{2} = E_{1} + \frac{m_{0}c^{2} }{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$. (1)
Энергия электромагнитного поля $E$ связана с его импульсом $p$ зависимостью $p = \frac{E}{c}$. Тогда закон сохранения импульса запишем так:
$\frac{E_{0}}{c} = - \frac{E_{1} }{c} + \frac{m_{0}v }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$. (2)
Знак минус в правой части уравнения свидетельствует о том, что отраженная от зеркала волна движется в обратном направлении. Чтобы исключить энергию отраженной волны $E_{1}$, умножим обе части равенства (2) на $c$ и добавим к (1). Получим:
$2 E_{0} + m_{0}c^{2} = \frac{ m_{0}c^{2} }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )$,
откуда
$\frac{c + v}{c - v} = \left ( 1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } \right )^{2}$, (3)
Отсюда определим конечную скорость зеркала $v$:
$v = c \frac{ \left ( 1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } \right )^{2} - 1 }{ \left ( 1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } \right )^{2} + 1 }$. (4)
Чтобы найти энергию отраженной волны $E_{1}$, вычтем из (1) равеноство (2), умноженную на $c$: $m_{0}c^{2} = 2E_{1} + m_{0}c^{2} \sqrt{ \frac{c - v}{c + v} }$, откуда, учитывая (3), находим:
$E_{1} = \frac{E_{0} }{1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} }}$. (5)
Интересно обратить внимание на то, что энергия отраженной волны не может превысить половины энергии покоя зеркала, какой бы ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (5), мы только увеличим правую часть, поэтому $E_{1} < \frac{E_{0} }{ \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } } = \frac{m_{0}c^{2} }{2}$.
Итак, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передается зеркалу. При $E_{0} \gg m_{0}c^{2}$ практически вся энергия волны передается зеркалу. Отражается лишь малая часть энергии, равная $\frac{m_{0}c^{2} }{2}$.
Можно также проанализировать второй предельный случай, когда энергия падающей волны гораздо меньше энергии покоя зеркала $E_{0} \ll m_{0}c^{2}$ (нерелятивистский случай).
На неподвижное идеальное плоское зеркало массой $m$ нормально к его поверхности падает плоская световая волна. Под действием силы давления света зеркало начинает двигаться. Определить конечную скорость зеркала и энергию отраженного от него света, если энергия волны падающего равна $E_{0}$.
Решение:
Энергию световой волны, падающей на зеркало, обозначим $E_{0}$, энергию отраженной волны - через $E_{1}$. Сначала зеркало было в покое. Тогда закон сохранения энергии (с учетом формул $m_{1} = \frac{m_{0} }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$ и $E = mc^{2}$) можно записать:
$E_{0} + m_{0}c^{2} = E_{1} + \frac{m_{0}c^{2} }{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$. (1)
Энергия электромагнитного поля $E$ связана с его импульсом $p$ зависимостью $p = \frac{E}{c}$. Тогда закон сохранения импульса запишем так:
$\frac{E_{0}}{c} = - \frac{E_{1} }{c} + \frac{m_{0}v }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$. (2)
Знак минус в правой части уравнения свидетельствует о том, что отраженная от зеркала волна движется в обратном направлении. Чтобы исключить энергию отраженной волны $E_{1}$, умножим обе части равенства (2) на $c$ и добавим к (1). Получим:
$2 E_{0} + m_{0}c^{2} = \frac{ m_{0}c^{2} }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } \left ( 1 + \frac{v}{c} \right )$,
откуда
$\frac{c + v}{c - v} = \left ( 1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } \right )^{2}$, (3)
Отсюда определим конечную скорость зеркала $v$:
$v = c \frac{ \left ( 1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } \right )^{2} - 1 }{ \left ( 1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } \right )^{2} + 1 }$. (4)
Чтобы найти энергию отраженной волны $E_{1}$, вычтем из (1) равеноство (2), умноженную на $c$: $m_{0}c^{2} = 2E_{1} + m_{0}c^{2} \sqrt{ \frac{c - v}{c + v} }$, откуда, учитывая (3), находим:
$E_{1} = \frac{E_{0} }{1 + \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} }}$. (5)
Интересно обратить внимание на то, что энергия отраженной волны не может превысить половины энергии покоя зеркала, какой бы ни была энергия падающей волны. Действительно, пренебрегая единицей в знаменателе (5), мы только увеличим правую часть, поэтому $E_{1} < \frac{E_{0} }{ \frac{2E_{0} }{m_{0}c^{2} } } = \frac{m_{0}c^{2} }{2}$.
Итак, чем больше энергия падающей волны, тем большая часть этой энергии передается зеркалу. При $E_{0} \gg m_{0}c^{2}$ практически вся энергия волны передается зеркалу. Отражается лишь малая часть энергии, равная $\frac{m_{0}c^{2} }{2}$.
Можно также проанализировать второй предельный случай, когда энергия падающей волны гораздо меньше энергии покоя зеркала $E_{0} \ll m_{0}c^{2}$ (нерелятивистский случай).
