Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14432
2020-11-28 
В однородном электрическом поле напряженностью $\vec{E}$ помещено однородную металлический шар радиуса $r$. На шара вследствие индукции возникает поверхностный заряд, поверхностная плотность которого зависит от угла $\alpha$ (рис.). Определить зависимость $\sigma ( \alpha )$.
Решение:
Под действием внешнего однородного поля напряженностью $\vec{E}$ происходит смещение электрических зарядов по поверхности шара и левая часть шара заряжается отрицательно, а правая - положительно. Обозначим через $\vec{E}_{1}$ напряженность электрического поля, создаваемого индуцированными на поверхности шара зарядами. Очевидно, что в разних точках пространства $\vec{E}_{1}$ будет разным. После помещения шара в однородное поле напряженность результирующего электрического поля равна $\vec{E} + \vec{E}_{1}$.
Это касается как точек внутри шара, так и вне ее. Но мы знаем, что внутри проводника, который находится во внешнем постоянном электрическом поле, напряженность результирующего поля равна нулю, то есть $\vec{E} + \vec{E}_{1} = 0$.
Чтобы найти зависимость поверхностной плотности индуцированных зарядов от угла $\alpha$, рассмотрим наэлектризованную сферическую поверхность как результат помещения друг в друга двух одинаковых заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами шаров так, что их центры несколько смещены друг относительно друга (рис.).
Тогда поле в любой точке представлять сумму внешнего поля и полей, создаваемых положительно и отрицательно заряженными пулями. Определим сначала, чему равна напряженность поля $E_{к}$ в различных точках внутри заряженной зарядом $Q$ шара радиуса $R$. Значение $E_{к}$ можно найти двумя способами.
1) Сначала докажем, что электрическое поле внутри однородно заряженной сферической поверхности равно нулю. Рассмотрим два очень малых телесных угла с общей вершиной $P$ (рис.) и общими образующими, угол между которыми $\Delta \Omega$. Расстояния точки $P$ от поверхности шара, измеренные вдоль оси телесных углов, составляют $r_{1}$ и $r_{2}$. Тогда $\Delta S_{1} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha{1} } r_{1}^{2}$ и $ \Delta S_{2} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha_{2} } r_{2}^{2} $.
Заряды плоскостей $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ равны $\Delta Q_{1} = \sigma \Delta S_{1}$ и $\Delta Q_{2} = \sigma \Delta S_{2}$, где $\sigma$ - постоянная поверхностной плотности. Если в точку $P$ поместить точечный заряд $q$, то заряды $\Delta Q_{1}$ и $\Delta Q_{2}$ будут действовать на него с силами $\Delta F_{1} = \frac{q \sigma \Delta S_{1} }{r_{1}^{2} }$ и $\Delta F_{2} = \frac{q \sigma \Delta S_{2} }{r_{2}^{2} }$.
Эти силы направлены противоположно по направлению и одинаковые по величине, поскольку $\frac{ \Delta S_{1} }{r_{1}^{2} } = \frac{ \Delta S_{2} }{r_{2}^{2} }$, так как $\alpha_{1} = \alpha_{2}$. Результирующая сил $\Delta F_{1}$ и $\Delta F_{2}$ равна нулю.
Подобные рассуждения можно провести для каждой пары телесных углов с вершиной в точке $P$ и с общими образующими. Итак, на помещенный в точку $P$ точечный заряд $q$ сила не действует. Это касается каждой точки внутри заряженной поверхности. Итак, внутри однородно заряженной сферической поверхности электрическое поле равно нулю.
Рассмотрим точку $M$, лежащую на расстоянии $r$ от центра шара радиуса $R (r < R)$, однородно заряженной по всему объему зарядом $Q$ (рис.).
Напряженность электрического поля в точке $M$, создаваемая заштрихованной частью шара, равна нулю, и в точке $M$ электрическое поле создается только зарядом, содержащийся в незаштрихованной части шара. Поэтому $E_{к}(r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }$. Напряженность $\vec{E}_{к}$ в каждой точке параллельная вектору $\vec{r}$, поэтому $\vec{E}_{к} ( \vec{r}) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{3} } \vec{r}$. Но $\frac{q}{Q} = \frac{r^{3} }{R^{3} }$, тогда $\vec{E}_{к}( \vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \vec{r}$.
2) Для определения $\vec{E}_{к}$ можно воспользоваться теоремой Гаусса. Рассмотрим снова рис. На основе симметрии напряженность поля $\vec{E}_{к}$ в каждой точке поверхности $S$ перпендикулярна к ней и имеет одинаковое числовое значение. Тогда поток $\vec{E}_{к}$ через поверхность $S$ составляет $4 \pi r^{2} \vec{E}_{к} ( \vec{r})$ и по теореме Гаусса равно $q$. Отсюда $E_{к} (r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} }$.
Рассмотрим две шара радиуса $R$, сдвинутые относительно друг друга на $\Delta l$ и заряженные зарядами $+Q$ и $-Q$ (рис.). Плотность заряда в общем для обеих шаров слое равна нулю. Напряженность же электрического поля в этом слое
$E_{сп} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \left ( r - \frac{1}{2}l \right ) - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \left ( r + \frac{1}{2}l \right ) = - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \Delta l$.
Как видим, это поле однородно. Предположим, что $\Delta l$ стремится к нулю так, что напряженность $\vec{E}_{сп}$ поля все время остается постоянным (это соответствует $\Delta l \rightarrow 0$ при постоянном $Q \Delta l$) и равен $E$. При таком предположении результирующее электрическое поле в общем для обеих шаров слое все время равна нулю, а заряды из слоев, обозначенных плюсами и минусами, дадут нам искомую плотность $\sigma$.
Согласно рис. на поверхность $\Delta S$ приходится заряд $\Delta Q = \Delta Sh \frac{Q}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } = \frac{ \Delta S Q }{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } l \cos \alpha$. Тогда $\sigma = \frac{ \Delta Q }{ \Delta S } = \frac{Ql \cos \alpha}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} }$. Но $- \frac{Ql}{4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } + E = 0$, тогда $\sigma = \frac{3}{4} E \cos \alpha$.
В однородном электрическом поле напряженностью $\vec{E}$ помещено однородную металлический шар радиуса $r$. На шара вследствие индукции возникает поверхностный заряд, поверхностная плотность которого зависит от угла $\alpha$ (рис.). Определить зависимость $\sigma ( \alpha )$.
Решение:
Под действием внешнего однородного поля напряженностью $\vec{E}$ происходит смещение электрических зарядов по поверхности шара и левая часть шара заряжается отрицательно, а правая - положительно. Обозначим через $\vec{E}_{1}$ напряженность электрического поля, создаваемого индуцированными на поверхности шара зарядами. Очевидно, что в разних точках пространства $\vec{E}_{1}$ будет разным. После помещения шара в однородное поле напряженность результирующего электрического поля равна $\vec{E} + \vec{E}_{1}$.
Это касается как точек внутри шара, так и вне ее. Но мы знаем, что внутри проводника, который находится во внешнем постоянном электрическом поле, напряженность результирующего поля равна нулю, то есть $\vec{E} + \vec{E}_{1} = 0$.
Чтобы найти зависимость поверхностной плотности индуцированных зарядов от угла $\alpha$, рассмотрим наэлектризованную сферическую поверхность как результат помещения друг в друга двух одинаковых заряженных равными по величине и противоположными по знаку зарядами шаров так, что их центры несколько смещены друг относительно друга (рис.).
Тогда поле в любой точке представлять сумму внешнего поля и полей, создаваемых положительно и отрицательно заряженными пулями. Определим сначала, чему равна напряженность поля $E_{к}$ в различных точках внутри заряженной зарядом $Q$ шара радиуса $R$. Значение $E_{к}$ можно найти двумя способами.
1) Сначала докажем, что электрическое поле внутри однородно заряженной сферической поверхности равно нулю. Рассмотрим два очень малых телесных угла с общей вершиной $P$ (рис.) и общими образующими, угол между которыми $\Delta \Omega$. Расстояния точки $P$ от поверхности шара, измеренные вдоль оси телесных углов, составляют $r_{1}$ и $r_{2}$. Тогда $\Delta S_{1} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha{1} } r_{1}^{2}$ и $ \Delta S_{2} = \frac{ \Delta \Omega }{ \cos \alpha_{2} } r_{2}^{2} $.
Заряды плоскостей $\Delta S_{1}$ и $\Delta S_{2}$ равны $\Delta Q_{1} = \sigma \Delta S_{1}$ и $\Delta Q_{2} = \sigma \Delta S_{2}$, где $\sigma$ - постоянная поверхностной плотности. Если в точку $P$ поместить точечный заряд $q$, то заряды $\Delta Q_{1}$ и $\Delta Q_{2}$ будут действовать на него с силами $\Delta F_{1} = \frac{q \sigma \Delta S_{1} }{r_{1}^{2} }$ и $\Delta F_{2} = \frac{q \sigma \Delta S_{2} }{r_{2}^{2} }$.
Эти силы направлены противоположно по направлению и одинаковые по величине, поскольку $\frac{ \Delta S_{1} }{r_{1}^{2} } = \frac{ \Delta S_{2} }{r_{2}^{2} }$, так как $\alpha_{1} = \alpha_{2}$. Результирующая сил $\Delta F_{1}$ и $\Delta F_{2}$ равна нулю.
Подобные рассуждения можно провести для каждой пары телесных углов с вершиной в точке $P$ и с общими образующими. Итак, на помещенный в точку $P$ точечный заряд $q$ сила не действует. Это касается каждой точки внутри заряженной поверхности. Итак, внутри однородно заряженной сферической поверхности электрическое поле равно нулю.
Рассмотрим точку $M$, лежащую на расстоянии $r$ от центра шара радиуса $R (r < R)$, однородно заряженной по всему объему зарядом $Q$ (рис.).
Напряженность электрического поля в точке $M$, создаваемая заштрихованной частью шара, равна нулю, и в точке $M$ электрическое поле создается только зарядом, содержащийся в незаштрихованной части шара. Поэтому $E_{к}(r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }$. Напряженность $\vec{E}_{к}$ в каждой точке параллельная вектору $\vec{r}$, поэтому $\vec{E}_{к} ( \vec{r}) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{3} } \vec{r}$. Но $\frac{q}{Q} = \frac{r^{3} }{R^{3} }$, тогда $\vec{E}_{к}( \vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \vec{r}$.
2) Для определения $\vec{E}_{к}$ можно воспользоваться теоремой Гаусса. Рассмотрим снова рис. На основе симметрии напряженность поля $\vec{E}_{к}$ в каждой точке поверхности $S$ перпендикулярна к ней и имеет одинаковое числовое значение. Тогда поток $\vec{E}_{к}$ через поверхность $S$ составляет $4 \pi r^{2} \vec{E}_{к} ( \vec{r})$ и по теореме Гаусса равно $q$. Отсюда $E_{к} (r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r^{2} }$.
Рассмотрим две шара радиуса $R$, сдвинутые относительно друг друга на $\Delta l$ и заряженные зарядами $+Q$ и $-Q$ (рис.). Плотность заряда в общем для обеих шаров слое равна нулю. Напряженность же электрического поля в этом слое
$E_{сп} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \left ( r - \frac{1}{2}l \right ) - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \left ( r + \frac{1}{2}l \right ) = - \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} R^{3} } \Delta l$.
Как видим, это поле однородно. Предположим, что $\Delta l$ стремится к нулю так, что напряженность $\vec{E}_{сп}$ поля все время остается постоянным (это соответствует $\Delta l \rightarrow 0$ при постоянном $Q \Delta l$) и равен $E$. При таком предположении результирующее электрическое поле в общем для обеих шаров слое все время равна нулю, а заряды из слоев, обозначенных плюсами и минусами, дадут нам искомую плотность $\sigma$.
Согласно рис. на поверхность $\Delta S$ приходится заряд $\Delta Q = \Delta Sh \frac{Q}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } = \frac{ \Delta S Q }{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } l \cos \alpha$. Тогда $\sigma = \frac{ \Delta Q }{ \Delta S } = \frac{Ql \cos \alpha}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} }$. Но $- \frac{Ql}{4 \pi \epsilon_{0}R^{3} } + E = 0$, тогда $\sigma = \frac{3}{4} E \cos \alpha$.
