Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1443
2016-11-20 
Какую работу $A$ надо совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Известны: радиус цилиндрического стакана $R$, плотность жидкости $\rho$, радиус пробки $r$, величина $h$ (см. рис.).
Решение:
Первый способ решения задачи основан на использовании закона сохранения энергии.
Запишем закон сохранения энергии при переходе системы из начального состояния (до вдвижения пробки) в конечное (пробка вдвинута):
$E_{2} -E_{1} = A$, (1)
полагая, что переходов механической энергии в другие виды энергии нет. Для этого необходимо вдвигать пробку очень медленно, в пределе с бесконечно малой скоростью.
Поскольку кинетическая энергия системы в начальном и конечном состоянии не изменилась (равна нулю), изменение полной механической энергии системы $E_{2} - E_{1}$ сводится к изменению потенциальной энергии в поле тяжести. Потенциальная энергия пробки в поле тяжести не меняется (центр масс пробки остается на одном уровне). Чтобы подсчитать изменение потенциальной энергии воды, заметим, что начальное состояние воды отличается от конечного тем, что объем АВСD перемещается в положение $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$. Потенциальная энергия остальной жидкости, как и ее положение, не изменилась. Воспользуемся утверждением о расчете потенциальной энергии протяженных тел в поле тяжести:
$ \Delta E = E_{2} - E_{1} = (h + \Delta h) mg$, (2)
где $2 \Delta h$ — изменение уровня воды в стакане, $m$ — масса воды в объеме АВСD или $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$:
$m = \pi r^{2} l \rho = \pi R^{2} \cdot 2 \Delta h \rho$. (3)
Из (1—3) получаем:
$A = \left ( h + \frac{1}{2} l \frac{r^{2}}{R^{2}} \right ) \pi r^{2} l \rho g$. (4)
Второй способ решения задачи основан на прямом вычислении работы:
$A = \int_{0}^{t} F dx$, (5)
где $F$ — сила, действующая на пробку вдоль ее оси и совершающая работу $A$. Поскольку мы считаем, что пробка из начального положения в конечное перемещается с бесконечно малой скоростью, сопротивление воды учитывать не будем. Положим также ускорение пробки равным нулю. Кроме силы $F$, на пробку действуют силы давления воды и воздуха. Запишем основное уравнение динамики для пробки в проекции на ось х:
$F + P_{0}S - PS = 0$, (6)
где $PS$ — сила давления со стороны жидкости, $P_{0}S$ — со стороны воздуха.
Пусть в некоторый текущий момент вдвижения пробки расстояние, на которое она продвинута, равно х, а расстояние между осью пробки и поверхностью жидкости в стакане у. Тогда имеем:
$P = \rho gy + P_{0}$. (7)
С учетом соотношения, аналогичного (3) (условие сохранения объема жидкости), находим:
$y = h + x \frac{r^{2}}{R^{2}}$. (8)
Из уравнений (6—8) получаем:
$F = \rho g \pi r^{2} \left ( h + x \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$. (9)
Подставляя (9) в (5) и интегрируя от 0 до $l$, получаем формулу (4).
Отметим, что при подсчете силы, действующей со стороны жидкости на пробку, мы взяли в качестве среднего давления на торец пробки давление в ее центре.
Энергетический подход к решению физических задач (в данном случае первый способ решения задачи) часто бывает весьма эффективен и приводит к быстрому результату.
Какую работу $A$ надо совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Известны: радиус цилиндрического стакана $R$, плотность жидкости $\rho$, радиус пробки $r$, величина $h$ (см. рис.).
Решение:
Первый способ решения задачи основан на использовании закона сохранения энергии.
Запишем закон сохранения энергии при переходе системы из начального состояния (до вдвижения пробки) в конечное (пробка вдвинута):
$E_{2} -E_{1} = A$, (1)
полагая, что переходов механической энергии в другие виды энергии нет. Для этого необходимо вдвигать пробку очень медленно, в пределе с бесконечно малой скоростью.
Поскольку кинетическая энергия системы в начальном и конечном состоянии не изменилась (равна нулю), изменение полной механической энергии системы $E_{2} - E_{1}$ сводится к изменению потенциальной энергии в поле тяжести. Потенциальная энергия пробки в поле тяжести не меняется (центр масс пробки остается на одном уровне). Чтобы подсчитать изменение потенциальной энергии воды, заметим, что начальное состояние воды отличается от конечного тем, что объем АВСD перемещается в положение $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$. Потенциальная энергия остальной жидкости, как и ее положение, не изменилась. Воспользуемся утверждением о расчете потенциальной энергии протяженных тел в поле тяжести:
$ \Delta E = E_{2} - E_{1} = (h + \Delta h) mg$, (2)
где $2 \Delta h$ — изменение уровня воды в стакане, $m$ — масса воды в объеме АВСD или $A^{ \prime}B^{ \prime}C^{ \prime}D^{ \prime}$:
$m = \pi r^{2} l \rho = \pi R^{2} \cdot 2 \Delta h \rho$. (3)
Из (1—3) получаем:
$A = \left ( h + \frac{1}{2} l \frac{r^{2}}{R^{2}} \right ) \pi r^{2} l \rho g$. (4)
Второй способ решения задачи основан на прямом вычислении работы:
$A = \int_{0}^{t} F dx$, (5)
где $F$ — сила, действующая на пробку вдоль ее оси и совершающая работу $A$. Поскольку мы считаем, что пробка из начального положения в конечное перемещается с бесконечно малой скоростью, сопротивление воды учитывать не будем. Положим также ускорение пробки равным нулю. Кроме силы $F$, на пробку действуют силы давления воды и воздуха. Запишем основное уравнение динамики для пробки в проекции на ось х:
$F + P_{0}S - PS = 0$, (6)
где $PS$ — сила давления со стороны жидкости, $P_{0}S$ — со стороны воздуха.
Пусть в некоторый текущий момент вдвижения пробки расстояние, на которое она продвинута, равно х, а расстояние между осью пробки и поверхностью жидкости в стакане у. Тогда имеем:
$P = \rho gy + P_{0}$. (7)
С учетом соотношения, аналогичного (3) (условие сохранения объема жидкости), находим:
$y = h + x \frac{r^{2}}{R^{2}}$. (8)
Из уравнений (6—8) получаем:
$F = \rho g \pi r^{2} \left ( h + x \frac{r^{2}}{R^{2}} \right )$. (9)
Подставляя (9) в (5) и интегрируя от 0 до $l$, получаем формулу (4).
Отметим, что при подсчете силы, действующей со стороны жидкости на пробку, мы взяли в качестве среднего давления на торец пробки давление в ее центре.
Энергетический подход к решению физических задач (в данном случае первый способ решения задачи) часто бывает весьма эффективен и приводит к быстрому результату.
