Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14429
2020-11-28 
Вертикально вверх от Земли стартует космический корабль. Расход топлива в секунду $\mu$ за все время старта. Относительная скорость истечения газов из сопла $u$. Определить внешний (полетный) коэффициент полезного действия ракетного двигателя. Напоминаем, что внешний КПД можно определить как: 1) отношение работы силы тяги к сумме механической энергии, возникающей вследствие сгорания топлива и энергии, которую имела масса газов до истечения из ракеты; 2) отношение полезной работы к полной механической энергии, получают в двигателе ракеты за счет химической энергии топлива. Объясните, почему в первом случае КПД уменьшается при $v > u$, а во втором - КПД по достижении $v = 2u$ становится отрицательным.
Решение:
Рассмотрим систему координат, связанную с ракетой. За очень малое время $\Delta t$ и из сопла ракеты вытекает масса газа $\Delta m$. Если $\Delta t $ очень мал, то скорость ракеты практически не меняется и систему координат связанную с ней, можно считать инерциальной. В этой системе координат ракета неподвижна, а потому химическая энергия топлива превращается в кинетическую энергию газов. Если $u$ - относительная скорость истечения газов из сопла ракеты, то кинетическая энергия массы $\Delta m$, вытекшей из сопла, $E = \frac{ \Delta m u^{2} }{2}$.
Поскольку мощность равна работе, выполненной в единицу времени, то выражение для мощности получим, подставив в формулу вместо $\Delta m$ секундную расход массы $\mu$. Тогда мощность двигателя ракеты $P_{дв} = \frac{ \mu u^{2} }{2}$.
Это же выражение можно получить, рассматривая движение ракеты и газов в подвижной системе координат.
Итак, мощность двигателя ракеты $P_{дв} = \frac{ \mu u^{2} }{2}$ и при стационарной работе двигателя остается постоянной.
Найдем теперь полезную механическую мощность двигателя. Основная задача двигателя - увеличивать кинетическую энергию ракеты. Сила тяги двигателя равна $F_{1} = \mu u$. Действительно, за время $\Delta t$ и из сопла вытекает масса газа $\Delta m$, которая имеет импульс $\Delta m u$, тогда по второму закону Ньютона на эту массу действует сила $F_{т} = \frac{ \Delta m u}{ \Delta t} = \mu u$. По третьему закону такая же по величине сила, но направлена ??в противополжную сторону действует на ракету - это сила тяги двигателя.
Изменение кинетической энергии ракеты за время $\Delta t$ и равна $\Delta E = \mu u \Delta s$. Тогда полезная мощность тяги двигателя
$P_{п} = \frac{ \Delta E}{ \Delta t} = \mu u \frac{ \Delta s}{ \Delta t} = \mu u v$.
1) Полет с двигателем, который работает, - это полет тела переменной массы. Поэтому, кроме мощности ракетного двигателя, энергетические соотношения должны учитывать еще и обмен энергией между ракетой и газами, вытекающие из ракеты, то есть учитывать всю мощность. Изменение энергии ракеты может произойти как за счет химической энергии топлива (работа силы тяги), так и за счет энергии, которую имела масса газов, до ее вытекания из ракеты. Она также может передаваться ракете
Итак, внешний (полетный) КПД можно определить как отношение работы силы тяги к сумме механической энергии, возникающей вследствие сгорания топлива, и энергии, которая имела масса газов до ее вытекания из ракеты. Это отношение можно заменить отношением соответствующих мощностей:
$\eta_{1} = \frac{ \mu uv}{ \frac{ \mu u^{2} }{2} + \frac{ \mu u^{2} }{2} } = 2 \frac{ \frac{v}{u} }{ 1 + \frac{v^{2} }{u^{2} } }$.
Для удобства обозначим $\frac{v}{u} = k$, тогда
$\eta_{1} = \frac{2k}{1 + k^{2} }$.
Исследуем эту формулу. Значение $\eta_{1}$ максимальное, когда $\frac{1}{ \eta_{1} }$ мининимальное, то есть когда минимальное значение имеет выражение $\frac{1 + k^{2} }{k} = \frac{1}{k} + k$. Но $\frac{1}{k} + k \geq 2 \sqrt{ \frac{1}{k} } - k$ (среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$ больше среднего геометрического или равен ему, когда $a = b$). Итак, $\frac{1}{k} + k$ минимальное, когда $\frac{1}{k} = k$ (или, что то же самое, при $\frac{1}{k} + k = 2$). Это означает, что максимум $\eta_{1}$ наступает, когда $k = 1$ и при этом $\eta_{1} = 1$. Физически это ясно: при $v = u$ масса газа, имеет кинетическую энергию, равную нулю, то есть полностью отдает ракете кинетическую энергию, которую она имела раньше. График $\eta_{1}$ выглядит, как на рис.
Уменьшение полетного КПД при $v > u$ объясняется тем, что снова возникает и начинает расти энергия, которую выносит струя газа.
2) Единственным источником роста кинетической энергии системы «ракета - газ» является работа ракетного двигателя, то есть энергия, которая возникает в результате преобразования химической энергии топлива в механическую энергию топлива и ракеты. Полезная работа - это та ее часть, которая идет на увеличение кинетической энергии самой ракеты. Определим ее. Сила тяги выполняет работу, за счет которой увеличивается кинетическая энергия ракеты. Но масса газа, вылетая из ракеты, уменьшает кинетическую энергию ракеты на такую ??величину, которую имела эта масса газа. Итак, полезная мощность в этом случае
$P_{п} = \mu vu - \frac{ \mu v^{2} }{2}$.
Тогда по второму определению
$\eta_{2} = \frac{ \mu vu - \frac{ \mu v^{2} }{2} }{ \frac{ \mu u^{2} }{2} } = 2k - k^{2}$.
График $\eta_{2}$ выглядит, как на рис. Это парабола, пересекающая ось $k$ в точках $k = 0$ и $k = 2$, с максимумом при $k = 1$. Итак максимум $\eta_{2}$ достигается тогда, когда $\eta_{1}$ достигает максимума, то бишь при $k = 1$ при этом на увеличение кинетической энергии расходуется вся механическая энергия ракетного двигателя, так как масса газа, вытекающей, имеет нулевую скорость и не несет с собой никакой энергии). Из графика видно, что при $k > 2$ ($v > 2u$) $\eta_{2} < 0$, то есть КПД ракетного двигателя, рассматриваемый с точки зрения изменения кинетической энергии движущейся ракеты, после достижения значения скорости полета ракеты $v = 2u$ становится отрицательным.
Объясняется этот парадокс довольно просто. Когда скорость ракеты становится больше чем двойная скорость истечения газов ($v > 2u$), энергия, которую забирает газ, возрастает настолько, что струя газа, энергия, которую забирает газ, возрастает настолько, что струя газа, которая вытекает, выносит не только всю энергию, создаваемую в данный момент ракетным двигателем, но и часть энергии, которую имела система ракета - газ до этого момента. Иначе говоря, уменьшение кинетической энергии ракеты вследствие уменьшения ее массы больше, чем увеличение кинетической энергии возрастания скорости ракеты.
Вертикально вверх от Земли стартует космический корабль. Расход топлива в секунду $\mu$ за все время старта. Относительная скорость истечения газов из сопла $u$. Определить внешний (полетный) коэффициент полезного действия ракетного двигателя. Напоминаем, что внешний КПД можно определить как: 1) отношение работы силы тяги к сумме механической энергии, возникающей вследствие сгорания топлива и энергии, которую имела масса газов до истечения из ракеты; 2) отношение полезной работы к полной механической энергии, получают в двигателе ракеты за счет химической энергии топлива. Объясните, почему в первом случае КПД уменьшается при $v > u$, а во втором - КПД по достижении $v = 2u$ становится отрицательным.
Решение:
Рассмотрим систему координат, связанную с ракетой. За очень малое время $\Delta t$ и из сопла ракеты вытекает масса газа $\Delta m$. Если $\Delta t $ очень мал, то скорость ракеты практически не меняется и систему координат связанную с ней, можно считать инерциальной. В этой системе координат ракета неподвижна, а потому химическая энергия топлива превращается в кинетическую энергию газов. Если $u$ - относительная скорость истечения газов из сопла ракеты, то кинетическая энергия массы $\Delta m$, вытекшей из сопла, $E = \frac{ \Delta m u^{2} }{2}$.
Поскольку мощность равна работе, выполненной в единицу времени, то выражение для мощности получим, подставив в формулу вместо $\Delta m$ секундную расход массы $\mu$. Тогда мощность двигателя ракеты $P_{дв} = \frac{ \mu u^{2} }{2}$.
Это же выражение можно получить, рассматривая движение ракеты и газов в подвижной системе координат.
Итак, мощность двигателя ракеты $P_{дв} = \frac{ \mu u^{2} }{2}$ и при стационарной работе двигателя остается постоянной.
Найдем теперь полезную механическую мощность двигателя. Основная задача двигателя - увеличивать кинетическую энергию ракеты. Сила тяги двигателя равна $F_{1} = \mu u$. Действительно, за время $\Delta t$ и из сопла вытекает масса газа $\Delta m$, которая имеет импульс $\Delta m u$, тогда по второму закону Ньютона на эту массу действует сила $F_{т} = \frac{ \Delta m u}{ \Delta t} = \mu u$. По третьему закону такая же по величине сила, но направлена ??в противополжную сторону действует на ракету - это сила тяги двигателя.
Изменение кинетической энергии ракеты за время $\Delta t$ и равна $\Delta E = \mu u \Delta s$. Тогда полезная мощность тяги двигателя
$P_{п} = \frac{ \Delta E}{ \Delta t} = \mu u \frac{ \Delta s}{ \Delta t} = \mu u v$.
1) Полет с двигателем, который работает, - это полет тела переменной массы. Поэтому, кроме мощности ракетного двигателя, энергетические соотношения должны учитывать еще и обмен энергией между ракетой и газами, вытекающие из ракеты, то есть учитывать всю мощность. Изменение энергии ракеты может произойти как за счет химической энергии топлива (работа силы тяги), так и за счет энергии, которую имела масса газов, до ее вытекания из ракеты. Она также может передаваться ракете
Итак, внешний (полетный) КПД можно определить как отношение работы силы тяги к сумме механической энергии, возникающей вследствие сгорания топлива, и энергии, которая имела масса газов до ее вытекания из ракеты. Это отношение можно заменить отношением соответствующих мощностей:
$\eta_{1} = \frac{ \mu uv}{ \frac{ \mu u^{2} }{2} + \frac{ \mu u^{2} }{2} } = 2 \frac{ \frac{v}{u} }{ 1 + \frac{v^{2} }{u^{2} } }$.
Для удобства обозначим $\frac{v}{u} = k$, тогда
$\eta_{1} = \frac{2k}{1 + k^{2} }$.
Исследуем эту формулу. Значение $\eta_{1}$ максимальное, когда $\frac{1}{ \eta_{1} }$ мининимальное, то есть когда минимальное значение имеет выражение $\frac{1 + k^{2} }{k} = \frac{1}{k} + k$. Но $\frac{1}{k} + k \geq 2 \sqrt{ \frac{1}{k} } - k$ (среднее арифметическое двух чисел $a$ и $b$ больше среднего геометрического или равен ему, когда $a = b$). Итак, $\frac{1}{k} + k$ минимальное, когда $\frac{1}{k} = k$ (или, что то же самое, при $\frac{1}{k} + k = 2$). Это означает, что максимум $\eta_{1}$ наступает, когда $k = 1$ и при этом $\eta_{1} = 1$. Физически это ясно: при $v = u$ масса газа, имеет кинетическую энергию, равную нулю, то есть полностью отдает ракете кинетическую энергию, которую она имела раньше. График $\eta_{1}$ выглядит, как на рис.
Уменьшение полетного КПД при $v > u$ объясняется тем, что снова возникает и начинает расти энергия, которую выносит струя газа.
2) Единственным источником роста кинетической энергии системы «ракета - газ» является работа ракетного двигателя, то есть энергия, которая возникает в результате преобразования химической энергии топлива в механическую энергию топлива и ракеты. Полезная работа - это та ее часть, которая идет на увеличение кинетической энергии самой ракеты. Определим ее. Сила тяги выполняет работу, за счет которой увеличивается кинетическая энергия ракеты. Но масса газа, вылетая из ракеты, уменьшает кинетическую энергию ракеты на такую ??величину, которую имела эта масса газа. Итак, полезная мощность в этом случае
$P_{п} = \mu vu - \frac{ \mu v^{2} }{2}$.
Тогда по второму определению
$\eta_{2} = \frac{ \mu vu - \frac{ \mu v^{2} }{2} }{ \frac{ \mu u^{2} }{2} } = 2k - k^{2}$.
График $\eta_{2}$ выглядит, как на рис. Это парабола, пересекающая ось $k$ в точках $k = 0$ и $k = 2$, с максимумом при $k = 1$. Итак максимум $\eta_{2}$ достигается тогда, когда $\eta_{1}$ достигает максимума, то бишь при $k = 1$ при этом на увеличение кинетической энергии расходуется вся механическая энергия ракетного двигателя, так как масса газа, вытекающей, имеет нулевую скорость и не несет с собой никакой энергии). Из графика видно, что при $k > 2$ ($v > 2u$) $\eta_{2} < 0$, то есть КПД ракетного двигателя, рассматриваемый с точки зрения изменения кинетической энергии движущейся ракеты, после достижения значения скорости полета ракеты $v = 2u$ становится отрицательным.
Объясняется этот парадокс довольно просто. Когда скорость ракеты становится больше чем двойная скорость истечения газов ($v > 2u$), энергия, которую забирает газ, возрастает настолько, что струя газа, энергия, которую забирает газ, возрастает настолько, что струя газа, которая вытекает, выносит не только всю энергию, создаваемую в данный момент ракетным двигателем, но и часть энергии, которую имела система ракета - газ до этого момента. Иначе говоря, уменьшение кинетической энергии ракеты вследствие уменьшения ее массы больше, чем увеличение кинетической энергии возрастания скорости ракеты.
