Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14420
2020-11-28 
Нужно зарядить конденсатор емкостью $C_{0} = 750 пФ$ до напряжения 1000 В, воспользовавшись батареей, которая дает напряжение только $U_{0} = 200 В$. Как зарядить конденсатор, если в распоряжении есть только проводники, переключатели и конденсаторы переменной емкости (от $C_{1} = 500 пФ$ до $C_{2} = 50 пФ$).
Решение:
Надо оба конденсаторы присоединить параллельно батареи (рис.). Сначала зарядим оба конденсаторы к напряжению $U_{0}$, причем конденсатор переменной емкости имеет емкость $C_{1}$. Далее разомкнем ключ $K_{2}$ и доведем емкость конденсатора $С_{1}$ до $C_{2}$, при этом напряжение на конденсаторе повышается и часть заряда перейдет и зарядит конденсатор $C_{0}$. Затем разомкнем ключ $K_{1}$ и снова зарядим конденсатор $C_{1}$ до напряжения $U_{0}$. Разомкнув ключ $K_{2}$ и замкнув ключ $K_{1}$, уменьшаем емкость до $C_{2}$ и повторим эту операцию до тех пор, пока конденсатор $C_{0}$ не зарядится до напряжения $U_{0}$.
По закону сохранения заряда:
$U_{0} (C_{1} + C_{0}) = U_{1} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{1} = U_{0} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
$U_{1}C_{0} + U_{0}C_{1} = U_{2} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{2} = U_{1} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
$U_{2}C_{0} + U_{0}C_{1} = U_{3} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{3} = U_{3} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
$\cdots \cdots$
$U_{n - 1}C_{0} + U_{0}C_{1} = U_{n} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{n} = U_{n-1} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
Последовательной подстановкой значений $U_{1}, U_{2}, U_{3} \cdots$ в следующие формулы получим:
$U_{n} = U_{0} \left ( \left ( \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n} + \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} } \left ( \left ( \frac{C_{2} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n - 1} + \left ( \frac{C_{2} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n - 2} + \cdots + \left ( \frac{C_{2} }{C_{0} + C_{2} } \right ) + 1 \right ) \right )$.
Выражение в квадратных скобках является геометрической прогрессией:
$U_{n} = U_{0} \left ( \frac{C_{1} }{C_{2} } - \left ( \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n} \left ( \frac{C_{1} }{C_{2} } + \frac{C_{1} }{C_{0} } - 1 \right ) \right )$.
Для определения $n$ подставим это выражение и прологарифмируем
$n = \frac{log C_{0} (U_{0}C_{1} - U_{n}C_{2} - log U_{0} (C_{1}C_{0} + C_{2}C_{1} - C_{2}C_{0} ) ) }{loc C_{0} - log (C_{0} + C_{2} ) }$.
Если подставим значения, получим $n \approx 10, 14$, то есть нужно в 11 раз осуществить переключение ключей.
Нужно зарядить конденсатор емкостью $C_{0} = 750 пФ$ до напряжения 1000 В, воспользовавшись батареей, которая дает напряжение только $U_{0} = 200 В$. Как зарядить конденсатор, если в распоряжении есть только проводники, переключатели и конденсаторы переменной емкости (от $C_{1} = 500 пФ$ до $C_{2} = 50 пФ$).
Решение:
Надо оба конденсаторы присоединить параллельно батареи (рис.). Сначала зарядим оба конденсаторы к напряжению $U_{0}$, причем конденсатор переменной емкости имеет емкость $C_{1}$. Далее разомкнем ключ $K_{2}$ и доведем емкость конденсатора $С_{1}$ до $C_{2}$, при этом напряжение на конденсаторе повышается и часть заряда перейдет и зарядит конденсатор $C_{0}$. Затем разомкнем ключ $K_{1}$ и снова зарядим конденсатор $C_{1}$ до напряжения $U_{0}$. Разомкнув ключ $K_{2}$ и замкнув ключ $K_{1}$, уменьшаем емкость до $C_{2}$ и повторим эту операцию до тех пор, пока конденсатор $C_{0}$ не зарядится до напряжения $U_{0}$.
По закону сохранения заряда:
$U_{0} (C_{1} + C_{0}) = U_{1} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{1} = U_{0} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
$U_{1}C_{0} + U_{0}C_{1} = U_{2} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{2} = U_{1} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
$U_{2}C_{0} + U_{0}C_{1} = U_{3} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{3} = U_{3} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
$\cdots \cdots$
$U_{n - 1}C_{0} + U_{0}C_{1} = U_{n} (C_{0} + C_{2})$, откуда $U_{n} = U_{n-1} \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } + U_{0} \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} }$;
Последовательной подстановкой значений $U_{1}, U_{2}, U_{3} \cdots$ в следующие формулы получим:
$U_{n} = U_{0} \left ( \left ( \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n} + \frac{C_{1} }{C_{0} + C_{2} } \left ( \left ( \frac{C_{2} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n - 1} + \left ( \frac{C_{2} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n - 2} + \cdots + \left ( \frac{C_{2} }{C_{0} + C_{2} } \right ) + 1 \right ) \right )$.
Выражение в квадратных скобках является геометрической прогрессией:
$U_{n} = U_{0} \left ( \frac{C_{1} }{C_{2} } - \left ( \frac{C_{0} }{C_{0} + C_{2} } \right )^{n} \left ( \frac{C_{1} }{C_{2} } + \frac{C_{1} }{C_{0} } - 1 \right ) \right )$.
Для определения $n$ подставим это выражение и прологарифмируем
$n = \frac{log C_{0} (U_{0}C_{1} - U_{n}C_{2} - log U_{0} (C_{1}C_{0} + C_{2}C_{1} - C_{2}C_{0} ) ) }{loc C_{0} - log (C_{0} + C_{2} ) }$.
Если подставим значения, получим $n \approx 10, 14$, то есть нужно в 11 раз осуществить переключение ключей.
