Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14416
2020-11-28 
Вертикально вверх от Земли стартует космический корабль. Расход топлива в секунду равна $\mu$, относительная скорость истечения газов из сопла двигателя $u$. Доказать, что кинетическая энергия ракеты сначала растет, а затем, когда скорость ракеты достигнет значения $2u$, начинает спадать. Объясните кажущийся парадокс.
Решение:
За счет работы ракетного двигателя увеличивается кинетическая энергия ракеты. Но одновременно масса газа, которая выбрасывается из ракеты, уменьшает кинетическую энергию ракеты на величину, которую имела эта масса газа до ее выброса. Найдем выражение для изменения кинетической энергии ракеты (рассчитанной на единицу массы). Пусть за время $\Delta t$ из сопла ракетного двигателя выбрасывается масса газа $\Delta m$. Эта масса газа в результате взаимодействия с ракетой приобретает импульс $\Delta m u$, то есть на нее по второму закону механики действует сила $F = \frac{ \Delta mu}{ \Delta t} = \mu u$, где $\frac{ \Delta m}{ \Delta t} = \mu$. По третьему закону механики такая же по величине сила, но направлена ??противоположно действует на ракету - это сила тяги двигателя.
Если за время $\Delta t$ ракета пролетела расстояние $\Delta s$, то сила тяги выполнила работу, изменив кинетическую энергию ракеты на $\Delta E = F \Delta s = \mu u \Delta s$, а изменение кинетической энергии за единицу времени будет $\Delta E_{1} = \mu uv$. Но за время $\Delta t$ кинетическая энергия ракеты уменьшится на $\frac{ \Delta m v^{2} }{2}$ вследствие уменьшения массы (в момент выбрасывания масса газа $\Delta m$ малая скорость ракеты $v$). За единицу времени энергия уменьшается на $\frac{ \mu v^{2} }{2}$. Тогда кинетическая энергия ракеты растет за единицу времени на
$\Delta E_{p} = \mu uv - \frac{ \mu v^{2} }{2} = \mu v \left ( u = \frac{v}{2} \right )$.
Рассматривая эту формулу, можно заметить, что при $v = 2u$ изменение кинетической энергии ракеты равна нулю, а при $v > 2u$ становится отрицательной. Оказывается довольно странная вещь: двигатель ракеты работает, а кинетическая энергия ракеты не увеличивается, а уменьшается.
Объясняется это довольно просто. С ростом скорости ракеты газы, выбрасываемые из ракеты, становятся все «богаче» на кинетическую энергию, и когда скорость ракеты уже больше двойную скорость истечения газов ($v > 2u$), то есть энергия, которую забирают с собой газы, делается большей той, которая создается в данный момент ракетным двигателем. Иначе говоря, кинетическая энергия ракеты из-за уменьшения ее массы уменьшается больше, чем увеличивается кинетическая энергия вследствие увеличения скорости ракеты.
Но надо обратить внимание на следующее. Хотя кинетическая энергия ракеты с новым (оставшимся) запасом топлива при скорости $v > 2u$ будет меньше кинетической энергии ракеты с горючим до выбрасывания порции газа, кинетическая энергия единицы массы ракеты, что остается, непрерывно увеличивается с ростом скорости ракеты.
Вертикально вверх от Земли стартует космический корабль. Расход топлива в секунду равна $\mu$, относительная скорость истечения газов из сопла двигателя $u$. Доказать, что кинетическая энергия ракеты сначала растет, а затем, когда скорость ракеты достигнет значения $2u$, начинает спадать. Объясните кажущийся парадокс.
Решение:
За счет работы ракетного двигателя увеличивается кинетическая энергия ракеты. Но одновременно масса газа, которая выбрасывается из ракеты, уменьшает кинетическую энергию ракеты на величину, которую имела эта масса газа до ее выброса. Найдем выражение для изменения кинетической энергии ракеты (рассчитанной на единицу массы). Пусть за время $\Delta t$ из сопла ракетного двигателя выбрасывается масса газа $\Delta m$. Эта масса газа в результате взаимодействия с ракетой приобретает импульс $\Delta m u$, то есть на нее по второму закону механики действует сила $F = \frac{ \Delta mu}{ \Delta t} = \mu u$, где $\frac{ \Delta m}{ \Delta t} = \mu$. По третьему закону механики такая же по величине сила, но направлена ??противоположно действует на ракету - это сила тяги двигателя.
Если за время $\Delta t$ ракета пролетела расстояние $\Delta s$, то сила тяги выполнила работу, изменив кинетическую энергию ракеты на $\Delta E = F \Delta s = \mu u \Delta s$, а изменение кинетической энергии за единицу времени будет $\Delta E_{1} = \mu uv$. Но за время $\Delta t$ кинетическая энергия ракеты уменьшится на $\frac{ \Delta m v^{2} }{2}$ вследствие уменьшения массы (в момент выбрасывания масса газа $\Delta m$ малая скорость ракеты $v$). За единицу времени энергия уменьшается на $\frac{ \mu v^{2} }{2}$. Тогда кинетическая энергия ракеты растет за единицу времени на
$\Delta E_{p} = \mu uv - \frac{ \mu v^{2} }{2} = \mu v \left ( u = \frac{v}{2} \right )$.
Рассматривая эту формулу, можно заметить, что при $v = 2u$ изменение кинетической энергии ракеты равна нулю, а при $v > 2u$ становится отрицательной. Оказывается довольно странная вещь: двигатель ракеты работает, а кинетическая энергия ракеты не увеличивается, а уменьшается.
Объясняется это довольно просто. С ростом скорости ракеты газы, выбрасываемые из ракеты, становятся все «богаче» на кинетическую энергию, и когда скорость ракеты уже больше двойную скорость истечения газов ($v > 2u$), то есть энергия, которую забирают с собой газы, делается большей той, которая создается в данный момент ракетным двигателем. Иначе говоря, кинетическая энергия ракеты из-за уменьшения ее массы уменьшается больше, чем увеличивается кинетическая энергия вследствие увеличения скорости ракеты.
Но надо обратить внимание на следующее. Хотя кинетическая энергия ракеты с новым (оставшимся) запасом топлива при скорости $v > 2u$ будет меньше кинетической энергии ракеты с горючим до выбрасывания порции газа, кинетическая энергия единицы массы ракеты, что остается, непрерывно увеличивается с ростом скорости ракеты.
