Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14412
2020-11-28 
На шар, изготовленный из прозрачного вещества, падает параллельный пучок монохроматического света, который проходит через центр шара. Поперечное сечение пучка мал по сравнению с размерами шара. Пучок света, исходящий из шара, создает на ее поверхности светящееся пятно, диаметр которого втрое меньше диаметр пучка. Вычислить коэффициент преломления материала шара.
Решение:
Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два способа и два случая прохождения пучка лучей внутри шара.
Способ I. I случай. Луч 1 падает на поверхность в точке А под углом $\alpha$ к поверхности шара и преломляется под углом $\beta$ (рис. а). Преломленный луч падает на поверхность шара в точке В под углом $\beta$ ($\Delta AOB$ - равнобедренный, поэтому $\angle OAB = \angle ABO$) и, выйдя из шара, преломляется под углом $\alpha$.
Показатель преломления материала шара
$n = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta }$. (1)
Так как по условию радиус падающего пучка мал по сравнению с радиусом шара ($a \ll R$), то и углы $\alpha$ и $\beta$ малые и можно записать $\sin \alpha \approx \alpha, \sin \beta \approx \beta$ и $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$.
Выразим углы $\alpha$ и $\beta$ через дуги. Из рисунка $\alpha = \frac{ \breve{AC} }{R}$. Поскольку по условию $a \ll R$, то дугу АС можно приближенно заменить через отрезок $AD = a$, тогда $\alpha = \frac{a}{R}$. Из треугольника АОВ $\hat{AOB} = \pi - 2 \beta$. С другой стороны, из рисунка $\hat{AOB} = \pi - ( \alpha + \gamma )$. Итак, $2 \beta = \alpha + \gamma$, а $\beta = \frac{1}{2} ( \alpha + \gamma )$. Но $\gamma = \frac{ \breve{BE} }{R} \approx \frac{b}{R}$, где $\breve{BE}$ примерно равна половине диаметра пучка, выходящего из шара. Тогда $\beta = \frac{1}{2} \left ( \frac{a}{R} + \frac{b}{R} \right ) = \frac{a + b}{2R}$. Подставив значения $\alpha$ и $\beta$ в формулу $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$, получим:
$n_{1} = \frac{ \frac{a}{R} }{ \frac{a + b}{2R} } = \frac{2a}{a + b}$.
Но по условию $a = 3b$, поэтому $n_{I} = \frac{2 \cdot 3b}{3b + b} = 1,5$.
II случай. Аналогично первом случае рассматриваем ход луча I, падающего на поверхность шара в точку А (рис. б). Луч преломляется под углом $\beta$, меньше угла преломления в первом случае, падает на поверхность шара в точке В и повторно преломляется. В этом случае пучок выходит из шара как расходящийся. Показатель преломления $n_{II}$ определяем как и в первом случае: $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$.
Далее $\alpha = \frac{ \breve{AC} }{R} \approx \frac{a}{R}$. Из равнобедренного треугольника $AOB$: $\hat{AOB} = \pi - 2 \beta$. Но $\hat{ AOB } = \pi + \delta - \alpha$, тогда $\beta = \frac{1}{2} ( \alpha - \delta )$, а $2 \beta = \alpha - \delta$, откуда $\beta = \frac{1}{2} ( \alpha - \delta )$.
Из рисунка $\delta = \frac{ \breve{BE} }{R} \approx \frac{b}{R}$, тогда $\beta = \frac{1}{2} \left ( \frac{a}{R} - \frac{b}{R} \right ) = \frac{a - b}{2R}$. Подставив эти значения $\alpha$ и $\beta$ в формулу $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$, получим: $n_{II} = \frac{2a}{a - b} = 3$.
Такой показатель очень большой и в практике не встречается. Наибольший показатель преломления имеет алмаз. Поэтому случай II хотя теоретически и возможен, но не реальный.
Способ II. I случай. Когда пучок лучей после однократного преломления на поверхности шара проходит дальше в среде, показатель преломления $n_{I}$ который такой же, как показатель преломления материала шара, то на своем пути пучок пересекает ось в точке F (рис. а).
Для преломления лучей сферической поверхностью $\frac{n}{y} - \frac{n_{0} }{x} = \frac{n - n_{0} }{R}$, где $n$ - показатель преломления среды, в котором луч проходит после преломления, $n_{0}$ - показатель преломления воздуха (берем $n_{0} = 1$), $x$ - расстояние от источника света от сферической поверхности, $y$ - расстояние точки F пересечения лучами оптической оси от сферической поверхности.
В рассматриваемом случае пучок параллелен оси, то есть $x = \infty$, тогда $\frac{1}{x} = 0$ и предыдущую формулу можно записать так: $\frac{n}{y} = \frac{n - 1}{R}$, откуда
$n = \frac{y}{y - R}$.
Поскольку сечение пучка значительно меньше размеров шара, то $y = CF \approx DF = DE + EF$, тогда $DE \approx CE = 2R$. Из сходства треугольников $ADF$ и $BEF$ имеем $\frac{AD}{DF} = \frac{BE}{EF}$. Но $AD = a; BE = b$, тогда $DF = y = 2R + EF$, или $EF = y - 2R$, и записанную выше пропорцию можно представить как $\frac{a}{y} = \frac{b}{y - 2R}$, откуда $y = \frac{2aR}{a - b}$. Подставив в формулу $n = \frac{y}{y - R}$ значение $y$, получим
$n_{I} = \frac{2a}{a + b} = 1,5$.
II случай. Из рисунка б $y = CF \approx DF$. Из сходства треугольников $ADF$ и $FEB$ $\frac{AD}{DE} = \frac{BE}{FE}$ $AD = a; BE = b; DF = y; FE = CE - CF = 2R - y$, откуда $\frac{a}{y} = \frac{b}{2R - y}$, а $y = \frac{2aR}{a + b} = 3$.
На шар, изготовленный из прозрачного вещества, падает параллельный пучок монохроматического света, который проходит через центр шара. Поперечное сечение пучка мал по сравнению с размерами шара. Пучок света, исходящий из шара, создает на ее поверхности светящееся пятно, диаметр которого втрое меньше диаметр пучка. Вычислить коэффициент преломления материала шара.
Решение:
Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два способа и два случая прохождения пучка лучей внутри шара.
Способ I. I случай. Луч 1 падает на поверхность в точке А под углом $\alpha$ к поверхности шара и преломляется под углом $\beta$ (рис. а). Преломленный луч падает на поверхность шара в точке В под углом $\beta$ ($\Delta AOB$ - равнобедренный, поэтому $\angle OAB = \angle ABO$) и, выйдя из шара, преломляется под углом $\alpha$.
Показатель преломления материала шара
$n = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta }$. (1)
Так как по условию радиус падающего пучка мал по сравнению с радиусом шара ($a \ll R$), то и углы $\alpha$ и $\beta$ малые и можно записать $\sin \alpha \approx \alpha, \sin \beta \approx \beta$ и $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$.
Выразим углы $\alpha$ и $\beta$ через дуги. Из рисунка $\alpha = \frac{ \breve{AC} }{R}$. Поскольку по условию $a \ll R$, то дугу АС можно приближенно заменить через отрезок $AD = a$, тогда $\alpha = \frac{a}{R}$. Из треугольника АОВ $\hat{AOB} = \pi - 2 \beta$. С другой стороны, из рисунка $\hat{AOB} = \pi - ( \alpha + \gamma )$. Итак, $2 \beta = \alpha + \gamma$, а $\beta = \frac{1}{2} ( \alpha + \gamma )$. Но $\gamma = \frac{ \breve{BE} }{R} \approx \frac{b}{R}$, где $\breve{BE}$ примерно равна половине диаметра пучка, выходящего из шара. Тогда $\beta = \frac{1}{2} \left ( \frac{a}{R} + \frac{b}{R} \right ) = \frac{a + b}{2R}$. Подставив значения $\alpha$ и $\beta$ в формулу $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$, получим:
$n_{1} = \frac{ \frac{a}{R} }{ \frac{a + b}{2R} } = \frac{2a}{a + b}$.
Но по условию $a = 3b$, поэтому $n_{I} = \frac{2 \cdot 3b}{3b + b} = 1,5$.
II случай. Аналогично первом случае рассматриваем ход луча I, падающего на поверхность шара в точку А (рис. б). Луч преломляется под углом $\beta$, меньше угла преломления в первом случае, падает на поверхность шара в точке В и повторно преломляется. В этом случае пучок выходит из шара как расходящийся. Показатель преломления $n_{II}$ определяем как и в первом случае: $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$.
Далее $\alpha = \frac{ \breve{AC} }{R} \approx \frac{a}{R}$. Из равнобедренного треугольника $AOB$: $\hat{AOB} = \pi - 2 \beta$. Но $\hat{ AOB } = \pi + \delta - \alpha$, тогда $\beta = \frac{1}{2} ( \alpha - \delta )$, а $2 \beta = \alpha - \delta$, откуда $\beta = \frac{1}{2} ( \alpha - \delta )$.
Из рисунка $\delta = \frac{ \breve{BE} }{R} \approx \frac{b}{R}$, тогда $\beta = \frac{1}{2} \left ( \frac{a}{R} - \frac{b}{R} \right ) = \frac{a - b}{2R}$. Подставив эти значения $\alpha$ и $\beta$ в формулу $n = \frac{ \alpha }{ \beta }$, получим: $n_{II} = \frac{2a}{a - b} = 3$.
Такой показатель очень большой и в практике не встречается. Наибольший показатель преломления имеет алмаз. Поэтому случай II хотя теоретически и возможен, но не реальный.
Способ II. I случай. Когда пучок лучей после однократного преломления на поверхности шара проходит дальше в среде, показатель преломления $n_{I}$ который такой же, как показатель преломления материала шара, то на своем пути пучок пересекает ось в точке F (рис. а).
Для преломления лучей сферической поверхностью $\frac{n}{y} - \frac{n_{0} }{x} = \frac{n - n_{0} }{R}$, где $n$ - показатель преломления среды, в котором луч проходит после преломления, $n_{0}$ - показатель преломления воздуха (берем $n_{0} = 1$), $x$ - расстояние от источника света от сферической поверхности, $y$ - расстояние точки F пересечения лучами оптической оси от сферической поверхности.
В рассматриваемом случае пучок параллелен оси, то есть $x = \infty$, тогда $\frac{1}{x} = 0$ и предыдущую формулу можно записать так: $\frac{n}{y} = \frac{n - 1}{R}$, откуда
$n = \frac{y}{y - R}$.
Поскольку сечение пучка значительно меньше размеров шара, то $y = CF \approx DF = DE + EF$, тогда $DE \approx CE = 2R$. Из сходства треугольников $ADF$ и $BEF$ имеем $\frac{AD}{DF} = \frac{BE}{EF}$. Но $AD = a; BE = b$, тогда $DF = y = 2R + EF$, или $EF = y - 2R$, и записанную выше пропорцию можно представить как $\frac{a}{y} = \frac{b}{y - 2R}$, откуда $y = \frac{2aR}{a - b}$. Подставив в формулу $n = \frac{y}{y - R}$ значение $y$, получим
$n_{I} = \frac{2a}{a + b} = 1,5$.
II случай. Из рисунка б $y = CF \approx DF$. Из сходства треугольников $ADF$ и $FEB$ $\frac{AD}{DE} = \frac{BE}{FE}$ $AD = a; BE = b; DF = y; FE = CE - CF = 2R - y$, откуда $\frac{a}{y} = \frac{b}{2R - y}$, а $y = \frac{2aR}{a + b} = 3$.
