Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14411
2020-11-28 
Упругий мячик отражается от горизонтальной плоскости так, что достигает $p$ процентов высоты, с которой он падал. Определить: а) число $p$, если мячик был отпущен на высоте $h$ над горизонтальной плоскостью и время до его полной остановки равно $t$; б) скорость, с которой надо бросить мячик вниз, чтобы после отражения он достиг начальной высоты.
Решение:
а) Отскачив от горизонтальной плоскости, мячик поднимается до высоты $h_{1}$ за время $t^{ \prime} = \sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} }$. Время падения с этой высоты $\sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} }$. Тогда полное время движения с момента отражения до последующего падения $t_{1} = 2 \sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} }$.
После $k$ отражений мячик поднимется на высоту $h_{k-1}$, а полное время поднятия этой высоты и повторного падения на горизонтальную плоскость $t_{k} = 2 \sqrt{ \frac{2h_{k - 1} }{g} }$, где $k = 1, 2, 3, \cdots$
После каждого отражения высота следующего поднятия составляетр $p$ % первоначальной высоты. Поэтому $h_{k} = p \frac{h_{k-1} }{100}$. Введем обозначения $\frac{p}{100} = q^{2}, p = 100q^{2}$ и $h_{k} = q^{2}h_{k-1}$. Полное время движения мячика с момента выпуска его на высоте $h$ и до полной остановки $t = t^{ \prime} + t_{1} + t_{2} + t_{3} + \cdots$
Подставив значения $t^{ \prime}, t_{1}, t_{2}, \cdots$, получим:
$t = \sqrt{ \frac{2h}{g} } + 2 \left ( \sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} } + \sqrt{ \frac{2h_{2} }{g} } + \sqrt{ \frac{2h_{3} }{g} } + \cdots \right ) = \sqrt{ \frac{2h}{g} } + 2 \sqrt{ \frac{2h}{g} } \left ( q + q^{2} + q^{3} + \cdots \right )$.
Сумма в скобках является бесконечной геометрической прогрессией. Поскольку $p < 100$, то $q = \sqrt{ \frac{p}{100} } < 1$, и ряд сходится. Тогда сумма, $q + q^{2} + q^{3} + \cdots = \frac{q}{1 - q}$ и $t = \sqrt{ \frac{2h}{g} } \left ( 1 + \frac{2q}{1 - q} \right ) = \sqrt{ \frac{2h}{g} } \frac{1 + q}{1 - q}$.
Отсюда получим $q$:
$t - tq = \sqrt{ \frac{2h}{g} } + q \sqrt{ \frac{2h}{g} }$, отсюда $q = \frac{t - \sqrt{ \frac{2h}{g} } }{t + \sqrt{ \frac{2h}{g} } }$.
Поскольку $p = 100q^{2}$,
$p = \frac{ \left ( t - \sqrt{ \frac{2h}{g} } \right )^{2} }{ \left ( t + \sqrt{ \frac{2h}{h} } \right )^{2} } \cdot 100$ %
б) Чтобы мячик после отражения поднялся до исходной высоты $h$, его надо бросить вертикально вниз со скоростью $v$, и он достигнет плоскости со скоростью $v_{0} = v + v^{ \prime} = v + \sqrt{2gh}$. Для движения мячика с высоты $h$ и плоскости можно записать: $v_{0} = v + gt_{0}$ и $h = vt_{0} + \frac{1}{2} gt_{0}^{2}$, где $t_{0}$ - время падения мячика на плоскость. Из первого уравнения $t_{0} = \frac{v_{0} - v}{g}$, тогда $h = \frac{v_{0}v - v^{2} }{g} + \frac{1}{2} \frac{(v_{0} - v )^{2} }{g}$, откуда $v_{0}^{2} = v^{2} + 2gh$.
Скорость $v_{0}$ мячик достиг при свободном падении с высоты $h_{0} > h$.
Для $h_{0} = \frac{100h}{p}$, поскольку $v_{0} = \sqrt{2gh_{0} }, v_{0} = \sqrt{ 2g \frac{100h}{p} } = \frac{10}{ \sqrt{p} } \sqrt{2gh }$.
Подставив это значение $v_{0}^{2}$ в уравнение $v_{0}^{2} = v^{2} + 2gh$, получим, $\frac{100 - 2gh}{p} = v^{2} + 2gh$, откуда
$v^{2} = 2gh \frac{100 - p}{p}$ и $v = \sqrt{ \frac{100 - p}{p} 2gh }$.
Упругий мячик отражается от горизонтальной плоскости так, что достигает $p$ процентов высоты, с которой он падал. Определить: а) число $p$, если мячик был отпущен на высоте $h$ над горизонтальной плоскостью и время до его полной остановки равно $t$; б) скорость, с которой надо бросить мячик вниз, чтобы после отражения он достиг начальной высоты.
Решение:
а) Отскачив от горизонтальной плоскости, мячик поднимается до высоты $h_{1}$ за время $t^{ \prime} = \sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} }$. Время падения с этой высоты $\sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} }$. Тогда полное время движения с момента отражения до последующего падения $t_{1} = 2 \sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} }$.
После $k$ отражений мячик поднимется на высоту $h_{k-1}$, а полное время поднятия этой высоты и повторного падения на горизонтальную плоскость $t_{k} = 2 \sqrt{ \frac{2h_{k - 1} }{g} }$, где $k = 1, 2, 3, \cdots$
После каждого отражения высота следующего поднятия составляетр $p$ % первоначальной высоты. Поэтому $h_{k} = p \frac{h_{k-1} }{100}$. Введем обозначения $\frac{p}{100} = q^{2}, p = 100q^{2}$ и $h_{k} = q^{2}h_{k-1}$. Полное время движения мячика с момента выпуска его на высоте $h$ и до полной остановки $t = t^{ \prime} + t_{1} + t_{2} + t_{3} + \cdots$
Подставив значения $t^{ \prime}, t_{1}, t_{2}, \cdots$, получим:
$t = \sqrt{ \frac{2h}{g} } + 2 \left ( \sqrt{ \frac{2h_{1} }{g} } + \sqrt{ \frac{2h_{2} }{g} } + \sqrt{ \frac{2h_{3} }{g} } + \cdots \right ) = \sqrt{ \frac{2h}{g} } + 2 \sqrt{ \frac{2h}{g} } \left ( q + q^{2} + q^{3} + \cdots \right )$.
Сумма в скобках является бесконечной геометрической прогрессией. Поскольку $p < 100$, то $q = \sqrt{ \frac{p}{100} } < 1$, и ряд сходится. Тогда сумма, $q + q^{2} + q^{3} + \cdots = \frac{q}{1 - q}$ и $t = \sqrt{ \frac{2h}{g} } \left ( 1 + \frac{2q}{1 - q} \right ) = \sqrt{ \frac{2h}{g} } \frac{1 + q}{1 - q}$.
Отсюда получим $q$:
$t - tq = \sqrt{ \frac{2h}{g} } + q \sqrt{ \frac{2h}{g} }$, отсюда $q = \frac{t - \sqrt{ \frac{2h}{g} } }{t + \sqrt{ \frac{2h}{g} } }$.
Поскольку $p = 100q^{2}$,
$p = \frac{ \left ( t - \sqrt{ \frac{2h}{g} } \right )^{2} }{ \left ( t + \sqrt{ \frac{2h}{h} } \right )^{2} } \cdot 100$ %
б) Чтобы мячик после отражения поднялся до исходной высоты $h$, его надо бросить вертикально вниз со скоростью $v$, и он достигнет плоскости со скоростью $v_{0} = v + v^{ \prime} = v + \sqrt{2gh}$. Для движения мячика с высоты $h$ и плоскости можно записать: $v_{0} = v + gt_{0}$ и $h = vt_{0} + \frac{1}{2} gt_{0}^{2}$, где $t_{0}$ - время падения мячика на плоскость. Из первого уравнения $t_{0} = \frac{v_{0} - v}{g}$, тогда $h = \frac{v_{0}v - v^{2} }{g} + \frac{1}{2} \frac{(v_{0} - v )^{2} }{g}$, откуда $v_{0}^{2} = v^{2} + 2gh$.
Скорость $v_{0}$ мячик достиг при свободном падении с высоты $h_{0} > h$.
Для $h_{0} = \frac{100h}{p}$, поскольку $v_{0} = \sqrt{2gh_{0} }, v_{0} = \sqrt{ 2g \frac{100h}{p} } = \frac{10}{ \sqrt{p} } \sqrt{2gh }$.
Подставив это значение $v_{0}^{2}$ в уравнение $v_{0}^{2} = v^{2} + 2gh$, получим, $\frac{100 - 2gh}{p} = v^{2} + 2gh$, откуда
$v^{2} = 2gh \frac{100 - p}{p}$ и $v = \sqrt{ \frac{100 - p}{p} 2gh }$.
