Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14404
2020-11-28 
Определить возможные частоты вращения конического маятника в виде шарика массой $m$, подвешенного на невесомой, но растяжимой нити. Коэффициент жесткости нити $k$. Нить может выдержать натяжение $T_{м}$. Длина нерастянутом нити $l_{0}$.
Решение:
Пусть $\omega$ - возможная частота колебаний маятника, при которой нить имеет длину $l$ и образует угол $\alpha$ с вертикалью. На шарик действует сила притяжения $mg$ и сила натяжения нити (рис.). Запишем уравнение второго закона механики в проекциях на вертикальный и горизонтальный направления:
$T \cos \alpha - mg = 0$;
$T \sin \alpha = m \omega^{2} l \sin \alpha$.
По закону Гука $T = k (l - l_{0})$. Из этих трех уравнений получим:
$l = \frac{l_{0} }{1 - \frac{m}{k} \omega^{2} }; \cos \alpha = \frac{g}{ \omega^{2}l_{0} } - \frac{mg}{kl_{0} }; T = \frac{m \omega^{2} l_{0} }{1 - \frac{m}{k} \omega^{2} }$.
Из выражения для $T$ видно, что большим частотам соответствуют большие растяжения, поэтому максимальная частота $\omega_{м}$ определяться из условия $T = T_{м}$, то есть
$T_{м} = \frac{m \omega_{м}^{2} l_{0} }{1 - \frac{m}{k} \omega_{м}^{2} }$,
откуда
$\omega_{м} = \sqrt{ \frac{kT_{м} }{kml_{0} + m T_{м} } }$.
Минимальную частоту $\omega_{min}$ найдем из условия $\cos \alpha \leq 1$, то есть $\frac{g}{ \omega^{2} l_{0} } - \frac{mg}{kl_{0} } = 1$, откуда $\omega = \sqrt{ \frac{kg}{kl_{0} + mg } }$.
Итак, допустимые частоты вращения лежат в пределах
$\sqrt{ \frac{kg}{kl_{0} + mg } } < \omega < \sqrt{ \frac{kT_{м} }{kml_{0} + m T_{м} } }$.
Определить возможные частоты вращения конического маятника в виде шарика массой $m$, подвешенного на невесомой, но растяжимой нити. Коэффициент жесткости нити $k$. Нить может выдержать натяжение $T_{м}$. Длина нерастянутом нити $l_{0}$.
Решение:
Пусть $\omega$ - возможная частота колебаний маятника, при которой нить имеет длину $l$ и образует угол $\alpha$ с вертикалью. На шарик действует сила притяжения $mg$ и сила натяжения нити (рис.). Запишем уравнение второго закона механики в проекциях на вертикальный и горизонтальный направления:
$T \cos \alpha - mg = 0$;
$T \sin \alpha = m \omega^{2} l \sin \alpha$.
По закону Гука $T = k (l - l_{0})$. Из этих трех уравнений получим:
$l = \frac{l_{0} }{1 - \frac{m}{k} \omega^{2} }; \cos \alpha = \frac{g}{ \omega^{2}l_{0} } - \frac{mg}{kl_{0} }; T = \frac{m \omega^{2} l_{0} }{1 - \frac{m}{k} \omega^{2} }$.
Из выражения для $T$ видно, что большим частотам соответствуют большие растяжения, поэтому максимальная частота $\omega_{м}$ определяться из условия $T = T_{м}$, то есть
$T_{м} = \frac{m \omega_{м}^{2} l_{0} }{1 - \frac{m}{k} \omega_{м}^{2} }$,
откуда
$\omega_{м} = \sqrt{ \frac{kT_{м} }{kml_{0} + m T_{м} } }$.
Минимальную частоту $\omega_{min}$ найдем из условия $\cos \alpha \leq 1$, то есть $\frac{g}{ \omega^{2} l_{0} } - \frac{mg}{kl_{0} } = 1$, откуда $\omega = \sqrt{ \frac{kg}{kl_{0} + mg } }$.
Итак, допустимые частоты вращения лежат в пределах
$\sqrt{ \frac{kg}{kl_{0} + mg } } < \omega < \sqrt{ \frac{kT_{м} }{kml_{0} + m T_{м} } }$.
