Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14391
2020-11-28 
На горизонтальной плоскости лежат две одинаковые тонкостенные цилиндрические трубы так, что их оси параллельны. Радиус каждой трубы $r$, масса $m$. Сверху на трубы кладут доску массой $M$ (рис.). Сначала система трубы - доска находится в покое. Затем к доске приложили силу $F$. Определить: а) ускорение, с которым движется доска относительно неподвижной горизонтальной плоскости; б) силу трения между поверхностями труб и доской, а также трубами и горизонтальной плоскостью. Считать, что во время движения доски по трубам и труб по горизонтальной плоскости проскальзывания нет.
Решение:
Обозначим через $v$ скорость доски в определенный момент времени. Центры обеих труб движутся с некоторой одинаковой скоростью $v_{1}$. Поскольку проскальзывания нет, то линейная скорость вращения точек трубы, к которым примыкает доска, равна скорости доски $v$. Очевидно, что между скоростью перемещения центра трубы $v_{1}$ и линейной скоростью вращения точек обода трубы $v$ соотношение $v = 2v_{1}$ (рис.).
Подсчитаем кинетическую энергию системы труба - доска. Кинетическая энергия энергия движения доски равна $\frac{Mv^{2} }{2}$. Надо вычислить кинетическую энергию труб, вращающихся. Для этого разобьем обвод трубы на маленькие участки массой $\Delta m$ каждая (рис.). Рассмотрим две симметричные относительно центра (оси) трубы участка. Все части трубы участвуют одновременно в двух движениях - поступательном со скоростью $v_{1}$ и вращательном со скоростью $v = \omega r$. Результирующую скорость $v_{2}$ левый верхний участок найдем как геометрическую сумму скоростей $v_{1}$ и $v$: $v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + v^{2} - 2vv_{1} \cos (180^{ \circ} - \alpha) = v_{1}^{2} + v^{2} + 2vv_{1} \cos \alpha$.
Скорость симметричного (нижнего) участка $v_{3}^{2} = v_{1}^{2} + v^{2} 0 2vv_{1} \cos \alpha$.
Сумма кинетических энергий этих двух участков $\Delta E = \frac{ \Delta m}{2} v_{2}^{2} + \frac{ \Delta m }{2} v_{3}^{2} = \frac{ \Delta m}{2} (v_{3}^{2} + v_{3}^{2} ) = \Delta m (v_{1}^{2} + v^{2} ) = \Delta m v_{1}^{2} + \Delta m \omega^{2}r^{2}$.
Поскольку это справедливо для любых двух симметричных участков трубы, то для целой трубы можно записать: $E = \sum \Delta E = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{m}{2} \omega^{2}r^{2}$ (делим на два, так как при определении суммы для всей трубы и сам участок учитывается дважды).
Труба движется без проскальзывания, потому $v_{1} = \omega r$ и, следовательно, ее кинетическая энергия $E = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{1}^{2} }{2} = mv_{1}^{2} = \frac{mv^{2} }{4}$.
Тогда кинетическая энергия системы труба - доска
$2mv_{1}^{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = 2 \frac{mv^{2} }{4} + \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{m + M}{2}v^{2}$.
Эта кинетическая энергия равна работе, которую выполняет сила $F$, перемещая систему на расстояние $s$: $\frac{m+ M }{2} v^{2} = Fs$, откуда $v = \sqrt{ \frac{2Fs}{m + M} }$ (силы трения работы не выполняют, так как проcкальзывания нет).
С другой стороны, $v = \sqrt{2as}$, поэтому, приравняв правые части остальных равенств, получим $a = \frac{F}{m + M}$.
Для определения силы трения, действующей со стороны трубы на положенную сверху доску, запишем второй закон Ньютона для доски: $Ma = F - 2F_{т}$, откуда $F_{т} = \frac{F - Ma}{2} = \frac{m}{2(M + m)}F$.
Поскольку скорость перемещения центра тяжести трубы вдвое меньше от скорости доски, то и ускорение центра тяжести трубы вдвое меньше ускорения движения доски. Тогда уравнение движения центра тяжести трубы запишем так: $m \frac{a}{2} = F_{т} - F_{т1}$, откуда $F_{т1} = F_{т} - m \frac{a}{2} = 0$.
На горизонтальной плоскости лежат две одинаковые тонкостенные цилиндрические трубы так, что их оси параллельны. Радиус каждой трубы $r$, масса $m$. Сверху на трубы кладут доску массой $M$ (рис.). Сначала система трубы - доска находится в покое. Затем к доске приложили силу $F$. Определить: а) ускорение, с которым движется доска относительно неподвижной горизонтальной плоскости; б) силу трения между поверхностями труб и доской, а также трубами и горизонтальной плоскостью. Считать, что во время движения доски по трубам и труб по горизонтальной плоскости проскальзывания нет.
Решение:
Обозначим через $v$ скорость доски в определенный момент времени. Центры обеих труб движутся с некоторой одинаковой скоростью $v_{1}$. Поскольку проскальзывания нет, то линейная скорость вращения точек трубы, к которым примыкает доска, равна скорости доски $v$. Очевидно, что между скоростью перемещения центра трубы $v_{1}$ и линейной скоростью вращения точек обода трубы $v$ соотношение $v = 2v_{1}$ (рис.).
Подсчитаем кинетическую энергию системы труба - доска. Кинетическая энергия энергия движения доски равна $\frac{Mv^{2} }{2}$. Надо вычислить кинетическую энергию труб, вращающихся. Для этого разобьем обвод трубы на маленькие участки массой $\Delta m$ каждая (рис.). Рассмотрим две симметричные относительно центра (оси) трубы участка. Все части трубы участвуют одновременно в двух движениях - поступательном со скоростью $v_{1}$ и вращательном со скоростью $v = \omega r$. Результирующую скорость $v_{2}$ левый верхний участок найдем как геометрическую сумму скоростей $v_{1}$ и $v$: $v_{2}^{2} = v_{1}^{2} + v^{2} - 2vv_{1} \cos (180^{ \circ} - \alpha) = v_{1}^{2} + v^{2} + 2vv_{1} \cos \alpha$.
Скорость симметричного (нижнего) участка $v_{3}^{2} = v_{1}^{2} + v^{2} 0 2vv_{1} \cos \alpha$.
Сумма кинетических энергий этих двух участков $\Delta E = \frac{ \Delta m}{2} v_{2}^{2} + \frac{ \Delta m }{2} v_{3}^{2} = \frac{ \Delta m}{2} (v_{3}^{2} + v_{3}^{2} ) = \Delta m (v_{1}^{2} + v^{2} ) = \Delta m v_{1}^{2} + \Delta m \omega^{2}r^{2}$.
Поскольку это справедливо для любых двух симметричных участков трубы, то для целой трубы можно записать: $E = \sum \Delta E = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{m}{2} \omega^{2}r^{2}$ (делим на два, так как при определении суммы для всей трубы и сам участок учитывается дважды).
Труба движется без проскальзывания, потому $v_{1} = \omega r$ и, следовательно, ее кинетическая энергия $E = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{1}^{2} }{2} = mv_{1}^{2} = \frac{mv^{2} }{4}$.
Тогда кинетическая энергия системы труба - доска
$2mv_{1}^{2} + \frac{Mv^{2} }{2} = 2 \frac{mv^{2} }{4} + \frac{Mv^{2} }{2} = \frac{m + M}{2}v^{2}$.
Эта кинетическая энергия равна работе, которую выполняет сила $F$, перемещая систему на расстояние $s$: $\frac{m+ M }{2} v^{2} = Fs$, откуда $v = \sqrt{ \frac{2Fs}{m + M} }$ (силы трения работы не выполняют, так как проcкальзывания нет).
С другой стороны, $v = \sqrt{2as}$, поэтому, приравняв правые части остальных равенств, получим $a = \frac{F}{m + M}$.
Для определения силы трения, действующей со стороны трубы на положенную сверху доску, запишем второй закон Ньютона для доски: $Ma = F - 2F_{т}$, откуда $F_{т} = \frac{F - Ma}{2} = \frac{m}{2(M + m)}F$.
Поскольку скорость перемещения центра тяжести трубы вдвое меньше от скорости доски, то и ускорение центра тяжести трубы вдвое меньше ускорения движения доски. Тогда уравнение движения центра тяжести трубы запишем так: $m \frac{a}{2} = F_{т} - F_{т1}$, откуда $F_{т1} = F_{т} - m \frac{a}{2} = 0$.
