Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14387
2020-11-28 
Два конденсатора емкостями $C_{1} = 9 мкФ$ и $C_{2} = 6 мкФ$ соединили между собой последовательно и зарядили от источника напряжением $U = 1200 В$. Затем конденсаторы соединили параллельно (пластины с одноименными зарядами соединили вместе). Докажите, что в первом случае электрическая энергия батареи конденсаторов больше, чем во втором, и определите эту разницу. В какой вид энергии превратилась эта разница энергий при переключении конденсаторов? Какой была бы разница энергий батареи конденсаторов при обоих соединениях, если $C_{1} = C_{2}$?
Решение:
При последовательном соединении конденсаторов энергия батареи
$E_{1} = \frac{1}{2} C^{ \prime}U^{2} = \frac{1}{2} \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } U^{2}$
и каждый конденсатор имеет заряд
$Q = C^{ \prime}U = \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } U$.
При переключении конденсаторов емкость $C^{ \prime \prime}$ зарядится зарядом $2Q$ до напряжения $U^{ \prime}$, тогда $2Q = 2 \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } U = (C_{1} + C_{2} )U^{ \prime}$, откуда
$U^{ \prime} = \frac{2C_{1}C_{2} }{(C_{1} + C_{2} )^{2} } U$.
Энергия батареи при параллельном соединении конденсаторов
$E_{2} = \frac{1}{2} C^{ \prime \prime} U^{ \prime 2} = \frac{2C_{1}^{2}C_{2}^{2} }{(C_{1} + C_{2} )^{3} } U^{2}$.
а) Разница энергий
$E_{1} - E_{2} = \frac{}{} U^{2}$. (1)
Поскольку правая часть этого равенства является величиной положительной, если $C_{1} \neq C_{2}$, то $E_{1} > E_{2}$, что и требовалось доказать.
б) Этот избыток энергии батареи при переключении конденсаторов с последовательного соединения на параллельное превращается в теплоту, так как при этом в цепи проходит электрический ток.
в) Если $C_{1} = C_{2}$, то числитель формулы (1) равен нулю, а потому равен нулю разность энергий при последовательном и параллельном соединении конденсаторов.
Два конденсатора емкостями $C_{1} = 9 мкФ$ и $C_{2} = 6 мкФ$ соединили между собой последовательно и зарядили от источника напряжением $U = 1200 В$. Затем конденсаторы соединили параллельно (пластины с одноименными зарядами соединили вместе). Докажите, что в первом случае электрическая энергия батареи конденсаторов больше, чем во втором, и определите эту разницу. В какой вид энергии превратилась эта разница энергий при переключении конденсаторов? Какой была бы разница энергий батареи конденсаторов при обоих соединениях, если $C_{1} = C_{2}$?
Решение:
При последовательном соединении конденсаторов энергия батареи
$E_{1} = \frac{1}{2} C^{ \prime}U^{2} = \frac{1}{2} \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } U^{2}$
и каждый конденсатор имеет заряд
$Q = C^{ \prime}U = \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } U$.
При переключении конденсаторов емкость $C^{ \prime \prime}$ зарядится зарядом $2Q$ до напряжения $U^{ \prime}$, тогда $2Q = 2 \frac{C_{1}C_{2} }{C_{1} + C_{2} } U = (C_{1} + C_{2} )U^{ \prime}$, откуда
$U^{ \prime} = \frac{2C_{1}C_{2} }{(C_{1} + C_{2} )^{2} } U$.
Энергия батареи при параллельном соединении конденсаторов
$E_{2} = \frac{1}{2} C^{ \prime \prime} U^{ \prime 2} = \frac{2C_{1}^{2}C_{2}^{2} }{(C_{1} + C_{2} )^{3} } U^{2}$.
а) Разница энергий
$E_{1} - E_{2} = \frac{}{} U^{2}$. (1)
Поскольку правая часть этого равенства является величиной положительной, если $C_{1} \neq C_{2}$, то $E_{1} > E_{2}$, что и требовалось доказать.
б) Этот избыток энергии батареи при переключении конденсаторов с последовательного соединения на параллельное превращается в теплоту, так как при этом в цепи проходит электрический ток.
в) Если $C_{1} = C_{2}$, то числитель формулы (1) равен нулю, а потому равен нулю разность энергий при последовательном и параллельном соединении конденсаторов.
