Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14386
2020-11-28 
Виток изолированного провода согнут в виде восьмерки, кольца которой имеют радиусы $r_{1} = 1 см$ и $r_{2} = 3 см$. Этот виток размещен в магнитном поле (с индукцией 1 Тл), перпендикулярном плоскости витка. Изоляция провода рассчитана на напряжение 10 В. Произойдет ли пробой изоляции, если магнитное поле уменьшить до нуля в течение 0,001 с?
Решение:
Виток в виде восьмерки можно согнуть двумя способами, причем в первом случае (рис. а) проводники пересекаются (соприкасаются друг к другу), а во втором - нет (рис. б). Рассмотрим оба эти случая.
Обозначим через $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$, ЭДС индукции, которые возбуждаются в контурах I И II, а через $R_{1}$ и $R_{2}$ - сопротивление этих контуров.
В первом случае, когда проволоки контуров пересекаются, ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ имеют противоположные знаки и поэтому закон Ома для этого случая будет выглядеть так: $I = \frac{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} }{R_{1} + R_{2} }$. По закону Фарадея
$\mathcal{E}_{1} = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = \frac{B \pi r_{1}^{2} }{ \Delta t}$ и $\mathcal{E}_{2} = \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = \frac{B \pi r_{2}^{2} }{ \Delta t}$.
Сопротивления контуров соответственно равны: $R_{1} = \rho 2 \pi r_{1}$ и $R_{2} = \rho 2 \pi r_{2}$.
Разность потенциалов между точками $A_{1}$ и $A_{2}$ равна, очевидно, разницы $\mathcal{E}_{1}$ и падению напряжения в контуре II (или разнице $\mathcal{E}_{1}$ и падению напряжения в контуре I; в обоих случаях получим тот же результат).
$U = \mathcal{E}_{1} - IR_{1} = \mathcal{E}_{2} + IR_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{1}R_{2} + \mathcal{E}_{2} R_{1} }{R_{1} + R_{2} } = \frac{ \pi r_{1} r_{2} B }{ \Delta t}$.
Подставив числовые значения, получим: $U \approx 0,94 В$.
Если проволоки контура не пересекаются, то ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ имеют одинаковый знак. В этом случае
$I = \frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{R_{1} + R_{2} }$ и $U = \mathcal{E}_{1} - IR_{1} = \pi r_{1}r_{2} \frac{r_{1} - r_{2} }{r_{1} + r_{2} } \frac{B}{ \Delta t} $.
Итак, во втором случае разность потенциалов между точками $A_{1}$ и $A_{2}$ проволоки меньше, чем в первом, в $\frac{r_{1} - r_{2} }{r_{1} + r_{2} } = 0,5$ раз, то есть в этом случае $U \approx 0,47 В$. Отсюда видно, что в обоих случаях изоляция не будет пробита.
Виток изолированного провода согнут в виде восьмерки, кольца которой имеют радиусы $r_{1} = 1 см$ и $r_{2} = 3 см$. Этот виток размещен в магнитном поле (с индукцией 1 Тл), перпендикулярном плоскости витка. Изоляция провода рассчитана на напряжение 10 В. Произойдет ли пробой изоляции, если магнитное поле уменьшить до нуля в течение 0,001 с?
Решение:
Виток в виде восьмерки можно согнуть двумя способами, причем в первом случае (рис. а) проводники пересекаются (соприкасаются друг к другу), а во втором - нет (рис. б). Рассмотрим оба эти случая.
Обозначим через $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$, ЭДС индукции, которые возбуждаются в контурах I И II, а через $R_{1}$ и $R_{2}$ - сопротивление этих контуров.
В первом случае, когда проволоки контуров пересекаются, ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ имеют противоположные знаки и поэтому закон Ома для этого случая будет выглядеть так: $I = \frac{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2} }{R_{1} + R_{2} }$. По закону Фарадея
$\mathcal{E}_{1} = \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = \frac{B \pi r_{1}^{2} }{ \Delta t}$ и $\mathcal{E}_{2} = \frac{ \Delta \Phi }{ \Delta t} = \frac{B \pi r_{2}^{2} }{ \Delta t}$.
Сопротивления контуров соответственно равны: $R_{1} = \rho 2 \pi r_{1}$ и $R_{2} = \rho 2 \pi r_{2}$.
Разность потенциалов между точками $A_{1}$ и $A_{2}$ равна, очевидно, разницы $\mathcal{E}_{1}$ и падению напряжения в контуре II (или разнице $\mathcal{E}_{1}$ и падению напряжения в контуре I; в обоих случаях получим тот же результат).
$U = \mathcal{E}_{1} - IR_{1} = \mathcal{E}_{2} + IR_{2} = \frac{ \mathcal{E}_{1}R_{2} + \mathcal{E}_{2} R_{1} }{R_{1} + R_{2} } = \frac{ \pi r_{1} r_{2} B }{ \Delta t}$.
Подставив числовые значения, получим: $U \approx 0,94 В$.
Если проволоки контура не пересекаются, то ЭДС $\mathcal{E}_{1}$ и $\mathcal{E}_{2}$ имеют одинаковый знак. В этом случае
$I = \frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{R_{1} + R_{2} }$ и $U = \mathcal{E}_{1} - IR_{1} = \pi r_{1}r_{2} \frac{r_{1} - r_{2} }{r_{1} + r_{2} } \frac{B}{ \Delta t} $.
Итак, во втором случае разность потенциалов между точками $A_{1}$ и $A_{2}$ проволоки меньше, чем в первом, в $\frac{r_{1} - r_{2} }{r_{1} + r_{2} } = 0,5$ раз, то есть в этом случае $U \approx 0,47 В$. Отсюда видно, что в обоих случаях изоляция не будет пробита.
