ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-11-28   
Тело находится в точке А неподвижной сферы (рис.) В каком случае оно скорее достигнет нижней точки сферы (В): когда будет скользить по поверхности сферы или по наклонной плоскости АВ? Трения в обоих случаях малое, начальная скорость тела равна нулю и расстояние АВ гораздо меньше радиуса сферы.



Решение:



Движение тела по поверхности сферы можно рассматривать как колебания маятника длиной $R$, тогда время этого движения по дуге АВ (рис.) равна $t_{1} = \frac{1}{4} T = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{R}{g} }$.

Движение по хорде АВ определим по закону движения: $AB = \frac{at_{2}^{2} }{2} = \frac{1}{2} g \sin \frac{ \alpha }{2} t_{2}^{2}$.

Величину АВ можно определить из геометрических соображений:

$\frac{1}{2} AB = R \sin \frac{ \alpha }{2}$. Тогда $2R \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{ g \sin \frac{ \alpha }{2} t_{2}^{2} }{2}$, откуда

$t_{2} = \sqrt{ \frac{4R}{g} } = 2 \sqrt{ \frac{R}{g} }$.

Нетрудно заметить, что $t_{2} > t_{1}$, то есть вдоль хорды тело скользит дольше, чем по дуге окружности.