Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14383
2020-11-28 
Маятник Максвелла состоит из массивного колеса радиусом $R$, насаженного на легкую ось радиуса $r$ и подвешенного на двух параллельных нитях. Считая, что вся масса колеса равномерно распределена по его ободу, определите силу натяжения каждой из ниток. Одинаковые ли силы натяжения нитей при движении маятника вверх и вниз?
Решение:
Маятник Максвелла опускается вниз с ускорением $a$ (рис.) и второй закон механики для этого движения можно записать так: $mg - 2T = ma$.
Если маятник поднимается вверх, то его движение будет замедленным, а поэтому ускорение $a$, как и в предыдущем случае, будет направлено вниз. Поэтому уравнение второго закона механики
$mg - 2T = ma$
подтверждается и для подъема маятника. Это уравнение имеет два неизвестных $T$ и $a$, а поэтому нужно записать еще одно уравнение. Запишем закон сохранения энергии для момента времени, когда центр тяжести маятника опустился на расстояние $h$:
$mgh = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2}$,
где $h$ - высота поднятия центра тяжести маятника при накручивании оси маятника на нитку;
$\frac{mv_{1}^{2} }{2}$ - кинетическая энергия поступательного движения маятника;
$\frac{mv_{2}^{2} }{2}$ - кинетическая энергия вращательного движения колеса.
Из геометрических соображений следует, что $\frac{v_{2} }{v_{1} } = \frac{R}{r}$, или $v_{2} = v_{!} \frac{R}{r}$. Это нетрудно заметить, потому что колесо маятника будто катится по нити. Тогда $gh = \frac{v_{1}^{2} }{2} + \frac{v_{1}^{2}R^{2} }{2r^{2} }$. С другой стороны, $v_{1}^{2} = 2ah$, следовательно, $gh = \frac{2ah}{2} + \frac{2ahR^{2} }{2r^{2} }$, откуда $a = g \frac{r^{2} }{R^{2} + r^{2} }$.
Подставив это значение в уравнение второго закона, получим: $2T = mg - mg \frac{r^{2} }{R^{2} + r^{2} }$, или $T = \frac{mgR^{2} }{2(R^{2} + r^{2} )}$. Поскольку $\frac{R^{2} }{R^{2} + r^{2} } < 1$, то $T < \frac{1}{2} mg$.
Итак, силы натяжения нитей при подъеме и опускании маятника внйз будут меньше половину силы тяжести маятника. В верхнем положении маятник на мгновение останавливается. Силы, что действуют на него при этом, уравновешиваются, то есть $T = \frac{1}{2} mg$.
Наиболее сложным является случай, когда маятник находится в нижней точке своего пути. Внизу стержень будто переходит с одной стороны нити на другую и центр тяжести маятника движется по дуге окружности (рис.). Для момента времени, когда центр тяжести маятника занимает самое низкое положение, можно записать: $ma = 2T - mg$ или $2T = mg + mg \frac{r^{2} }{R^{2} + r^{2} } = mg \frac{R^{2} + 2r^{2} }{R^{2} + r^{2} }$, то есть $T > \frac{1}{2} mg$.
Маятник Максвелла состоит из массивного колеса радиусом $R$, насаженного на легкую ось радиуса $r$ и подвешенного на двух параллельных нитях. Считая, что вся масса колеса равномерно распределена по его ободу, определите силу натяжения каждой из ниток. Одинаковые ли силы натяжения нитей при движении маятника вверх и вниз?
Решение:
Маятник Максвелла опускается вниз с ускорением $a$ (рис.) и второй закон механики для этого движения можно записать так: $mg - 2T = ma$.
Если маятник поднимается вверх, то его движение будет замедленным, а поэтому ускорение $a$, как и в предыдущем случае, будет направлено вниз. Поэтому уравнение второго закона механики
$mg - 2T = ma$
подтверждается и для подъема маятника. Это уравнение имеет два неизвестных $T$ и $a$, а поэтому нужно записать еще одно уравнение. Запишем закон сохранения энергии для момента времени, когда центр тяжести маятника опустился на расстояние $h$:
$mgh = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2}$,
где $h$ - высота поднятия центра тяжести маятника при накручивании оси маятника на нитку;
$\frac{mv_{1}^{2} }{2}$ - кинетическая энергия поступательного движения маятника;
$\frac{mv_{2}^{2} }{2}$ - кинетическая энергия вращательного движения колеса.
Из геометрических соображений следует, что $\frac{v_{2} }{v_{1} } = \frac{R}{r}$, или $v_{2} = v_{!} \frac{R}{r}$. Это нетрудно заметить, потому что колесо маятника будто катится по нити. Тогда $gh = \frac{v_{1}^{2} }{2} + \frac{v_{1}^{2}R^{2} }{2r^{2} }$. С другой стороны, $v_{1}^{2} = 2ah$, следовательно, $gh = \frac{2ah}{2} + \frac{2ahR^{2} }{2r^{2} }$, откуда $a = g \frac{r^{2} }{R^{2} + r^{2} }$.
Подставив это значение в уравнение второго закона, получим: $2T = mg - mg \frac{r^{2} }{R^{2} + r^{2} }$, или $T = \frac{mgR^{2} }{2(R^{2} + r^{2} )}$. Поскольку $\frac{R^{2} }{R^{2} + r^{2} } < 1$, то $T < \frac{1}{2} mg$.
Итак, силы натяжения нитей при подъеме и опускании маятника внйз будут меньше половину силы тяжести маятника. В верхнем положении маятник на мгновение останавливается. Силы, что действуют на него при этом, уравновешиваются, то есть $T = \frac{1}{2} mg$.
Наиболее сложным является случай, когда маятник находится в нижней точке своего пути. Внизу стержень будто переходит с одной стороны нити на другую и центр тяжести маятника движется по дуге окружности (рис.). Для момента времени, когда центр тяжести маятника занимает самое низкое положение, можно записать: $ma = 2T - mg$ или $2T = mg + mg \frac{r^{2} }{R^{2} + r^{2} } = mg \frac{R^{2} + 2r^{2} }{R^{2} + r^{2} }$, то есть $T > \frac{1}{2} mg$.
