Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14382
2020-11-28 
Десять насекомых тянут со стола спичку, что лежит на нем. Как они должны тянуть, когда сила, с которой каждое насекомое может тянуть спичку, несколько меньше одной десятой силы трения, действующей на спичку во время его движения по столу.
Решение:
Задачу можно решить несколькими способами, то есть несколько способов, которыми насекомые могут стянуть спичку со стола. Прежде всего они могут это сделать кантовкой, то есть скатить спичку со стола. Чтобы перекатить спичку через ребро, насекомые должны прикладывать силу $F \geq \frac{1}{2} mg$ (из условия равенства моментов сил $Fa = mg \frac{a}{2}$, где $a$ - ширина грани спички). Сила трения скольжения спички $F_{т} = \mu mg$ следовательно, если сила $F_{т} > F$, то есть если коэффициент трения $\mu > \frac{1}{2}$, то насекомые могут укатить спичку.
Можно представить, что насекомые разделились на две группы, из которых одна поднимает спичку вверх, уменьшая тем самым силу давления спички на стол, а следовательно, и величину силы трения, а вторая тянет спичку. Действительно, прикладывая силу $F$ под определенным углом к ??поверхности стола, насекомые при определенных условиях могли бы тянуть спичку. Пусть сила $F$ приложена к спички под углом $\alpha$ к поверхности стола. Сумма проекций сил $F$ и $N$ на вертикальное направление должно быть равно силе тяжести спички $mg: F \sin \alpha + N = mg$, откуда $N = mg - F \sin \alpha$.
Чтобы насекомые могли тащить спичку по столу, горизонтальная составляющая силы $F$ должна быть больше силы трения $\mu N$: $F \cos \alpha > (mg - F \sin \alpha) \mu$, откуда
$F \geq \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha }$.
Выполнив тригонометрические преобразования, получим, что для движения спички по столу нужна сила
$F \geq \frac{ \mu mg}{ \cos ( \alpha - \beta) \sqrt{ \mu^{2} + 1 } }$, где $\beta = arctg \mu$.
Сила $F$ будет минимальной при $\alpha = \beta = arctg \mu$. В этом случае $F \geq \frac{ \mu mg}{ \sqrt{ \mu^{2} + 1 } }$.
Эта сила в $\sqrt{ \mu^{2} + 1 }$ раз меньше силы трения, действующая на спичку при его скольжении по столу, если силу прикладывать в горизонтальном направлении.
Однако наиболее интересным решением этой задачи является таковой. Оказывается, что хотя насекомые не могут тянуть спичку, прикладывая горизонтальную силу, они могут перемещать его поворачивая. Пусть сила $F$ приложена к одному из концов спички (рис.). Спичку начнет поворачиваться вокруг гочкы О (мгновенного центра вращения), которая лежит не посередине спички, а ближе к его противоположному краю. Докажем это. Масса единицы длины спички будет $\frac{m}{l}$, тогда силы трения, действующие на каждую из частей спички, равны
$F_{1} = \mu mg \frac{l - x}{l}$ и $F_{2} = \mu mg \frac{x}{l}$,
где $x$ - расстояние от точки O до противоположного конца спички. Условием равномерного вращения спички вокруг точки O является равенство нулю моментов сил относительно точки О:
$F(l - x) - F_{1} \frac{l - x}{2} - F_{2} \frac{x}{2} = 0$,
или
$F(l - x) - \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l} - \mu mg \frac{x^{2} }{2l} = 0$.
По условию задачи сила $F$ немного меньше силы трения $\mu mg$. Заменим в последнем уравнении $F$ на $\mu mg$:
$\mu mg (l - x) > \mu mg \frac{(l - x)^{2}}{2l} + \mu mg \frac{x^{2} }{2l}$,
откуда $x < \frac{l}{ \sqrt{2} }$.
Как видим, расстояние $x$ меньше половины длины спички, то есть спичка вращается не вокруг середины, а вокруг точки О, лежащей ближе к противоположному краю спички.
То что сила $F$ меньше силы трения скольжения спички, можно легко убедиться из уравнения моментов: $F (l - x) = \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l} + \mu mg \frac{x^{2}} {2l}$. Очевидно, что $\mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l} > \mu mg \frac{x^{2} }{2l}$, тогда можно записать такое очевидное неравенство: $F(l - x) < \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{l}$, или $F < \mu mg - \mu mg \frac{x}{l}$, где $\mu mg$ - сила трения скольжения всей спички.
Теперь можно объяснить процесс стягивания спички насекомыми. Повернув спичку на $180^{ \circ}$, насекомые сместят ее на расстояние $\frac{l}{2} - x$. Теперь снова вращаем спичку, прикладывая силу $F$ уже к другому концу, и так перемещаем спичку постепенно по поверхности стола.
Применяя правила дифференциального исчисления, можно найти минимальное значение силы $F = \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l(l - x)} + \mu mg \frac{x^{2} }{2l(l - x)}$. Для этого надо найти минимум функции $y = \frac{(l - x)^{2}}{2l(l - x)} + \frac{x^{2} }{2l(l - x)} = \frac{2x^{2} - 2lx + l^{2} }{2l(l - x)}$. Для этого определим производную этой функции и приравняем ее нулю и найдем, что минимальное значение функция будет при $x = l \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right ) \approx 0,3l$ и равно это минимальное значение 0,43. Итак, чтобы насекомые смогли вращать спичку, им достаточно приложить к одному из его концов силу $F$, что равна 0,43 \mu mg$.
Десять насекомых тянут со стола спичку, что лежит на нем. Как они должны тянуть, когда сила, с которой каждое насекомое может тянуть спичку, несколько меньше одной десятой силы трения, действующей на спичку во время его движения по столу.
Решение:
Задачу можно решить несколькими способами, то есть несколько способов, которыми насекомые могут стянуть спичку со стола. Прежде всего они могут это сделать кантовкой, то есть скатить спичку со стола. Чтобы перекатить спичку через ребро, насекомые должны прикладывать силу $F \geq \frac{1}{2} mg$ (из условия равенства моментов сил $Fa = mg \frac{a}{2}$, где $a$ - ширина грани спички). Сила трения скольжения спички $F_{т} = \mu mg$ следовательно, если сила $F_{т} > F$, то есть если коэффициент трения $\mu > \frac{1}{2}$, то насекомые могут укатить спичку.
Можно представить, что насекомые разделились на две группы, из которых одна поднимает спичку вверх, уменьшая тем самым силу давления спички на стол, а следовательно, и величину силы трения, а вторая тянет спичку. Действительно, прикладывая силу $F$ под определенным углом к ??поверхности стола, насекомые при определенных условиях могли бы тянуть спичку. Пусть сила $F$ приложена к спички под углом $\alpha$ к поверхности стола. Сумма проекций сил $F$ и $N$ на вертикальное направление должно быть равно силе тяжести спички $mg: F \sin \alpha + N = mg$, откуда $N = mg - F \sin \alpha$.
Чтобы насекомые могли тащить спичку по столу, горизонтальная составляющая силы $F$ должна быть больше силы трения $\mu N$: $F \cos \alpha > (mg - F \sin \alpha) \mu$, откуда
$F \geq \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha }$.
Выполнив тригонометрические преобразования, получим, что для движения спички по столу нужна сила
$F \geq \frac{ \mu mg}{ \cos ( \alpha - \beta) \sqrt{ \mu^{2} + 1 } }$, где $\beta = arctg \mu$.
Сила $F$ будет минимальной при $\alpha = \beta = arctg \mu$. В этом случае $F \geq \frac{ \mu mg}{ \sqrt{ \mu^{2} + 1 } }$.
Эта сила в $\sqrt{ \mu^{2} + 1 }$ раз меньше силы трения, действующая на спичку при его скольжении по столу, если силу прикладывать в горизонтальном направлении.
Однако наиболее интересным решением этой задачи является таковой. Оказывается, что хотя насекомые не могут тянуть спичку, прикладывая горизонтальную силу, они могут перемещать его поворачивая. Пусть сила $F$ приложена к одному из концов спички (рис.). Спичку начнет поворачиваться вокруг гочкы О (мгновенного центра вращения), которая лежит не посередине спички, а ближе к его противоположному краю. Докажем это. Масса единицы длины спички будет $\frac{m}{l}$, тогда силы трения, действующие на каждую из частей спички, равны
$F_{1} = \mu mg \frac{l - x}{l}$ и $F_{2} = \mu mg \frac{x}{l}$,
где $x$ - расстояние от точки O до противоположного конца спички. Условием равномерного вращения спички вокруг точки O является равенство нулю моментов сил относительно точки О:
$F(l - x) - F_{1} \frac{l - x}{2} - F_{2} \frac{x}{2} = 0$,
или
$F(l - x) - \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l} - \mu mg \frac{x^{2} }{2l} = 0$.
По условию задачи сила $F$ немного меньше силы трения $\mu mg$. Заменим в последнем уравнении $F$ на $\mu mg$:
$\mu mg (l - x) > \mu mg \frac{(l - x)^{2}}{2l} + \mu mg \frac{x^{2} }{2l}$,
откуда $x < \frac{l}{ \sqrt{2} }$.
Как видим, расстояние $x$ меньше половины длины спички, то есть спичка вращается не вокруг середины, а вокруг точки О, лежащей ближе к противоположному краю спички.
То что сила $F$ меньше силы трения скольжения спички, можно легко убедиться из уравнения моментов: $F (l - x) = \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l} + \mu mg \frac{x^{2}} {2l}$. Очевидно, что $\mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l} > \mu mg \frac{x^{2} }{2l}$, тогда можно записать такое очевидное неравенство: $F(l - x) < \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{l}$, или $F < \mu mg - \mu mg \frac{x}{l}$, где $\mu mg$ - сила трения скольжения всей спички.
Теперь можно объяснить процесс стягивания спички насекомыми. Повернув спичку на $180^{ \circ}$, насекомые сместят ее на расстояние $\frac{l}{2} - x$. Теперь снова вращаем спичку, прикладывая силу $F$ уже к другому концу, и так перемещаем спичку постепенно по поверхности стола.
Применяя правила дифференциального исчисления, можно найти минимальное значение силы $F = \mu mg \frac{(l - x)^{2} }{2l(l - x)} + \mu mg \frac{x^{2} }{2l(l - x)}$. Для этого надо найти минимум функции $y = \frac{(l - x)^{2}}{2l(l - x)} + \frac{x^{2} }{2l(l - x)} = \frac{2x^{2} - 2lx + l^{2} }{2l(l - x)}$. Для этого определим производную этой функции и приравняем ее нулю и найдем, что минимальное значение функция будет при $x = l \left ( 1 - \frac{ \sqrt{2} }{2} \right ) \approx 0,3l$ и равно это минимальное значение 0,43. Итак, чтобы насекомые смогли вращать спичку, им достаточно приложить к одному из его концов силу $F$, что равна 0,43 \mu mg$.
