Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1437
2016-11-20 
Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$.
Решение:
рис.1
рис.2
Вертикальный и горизонтальный столбы жидкости, для которых запишем закон Ньютона, удобно выбрать так, как показано на рисунке.
Для вертикального столба в проекции на ось у имеем:
$P_{A}S - Sy \rho g - P_{0}S = 0$, (1)
где $Sy \rho$ — масса столба жидкости, $P_{0}S$ — вертикальная составляющая силы атмосферного давления (см. выше).
Записать закон Ньютона для всего горизонтального столба ОА невозможно, так как находящиеся на раз* личном расстоянии от точки О фрагменты столба имеют разные ускорения. Мы можем только сделать это для малого фрагмента столба; пусть координаты концов этого фрагмента равны $x_{i}$ и $x_{i} + 1$.
Ускорение центра фрагмента определяется формулой из кинематики вращательного движения:
$a_{i+1} = \frac{x_{i+1} + x_{i}}{2} \omega^{2}$, (2)
а закон Ньютона для фрагмента в проекции на ось х имеет вид:
$-P_{i+1}S + P_{i}S = - a_{i+1} \cdot m_{i+1}$, (3)
где $P_{i+1}S$ — сила давления со стороны прилегающей к фрагменту жидкости, направленная к центру вращения, $P_{i}S$ — сила, направленная от центра,
$m_{i+1} = S (x_{i+1} - x_{i}) \rho$.
Из (2,3) получаем:
$P_{i+1} - P_{i} = \frac{ \rho \omega^{2}}{2} ( x_{i+1}^{2} - x_{i}^{2})$. (4)
Разобьем весь столб жидкости на большое число $N$ фрагментов, запишем для каждого из них (4) и сложим получившиеся равенства почленно. После сокращений получим:
$P_{N} - P_{0} = \frac{ \rho \omega^{2}}{2} ( x_{N}^{2} - x_{0}^{2})$. (5)
Поскольку
$P_{N} = P_{A}; x_{N} = x$ и $x_{0} = 0$,
из (5) находим:
$P_{A} - P_{0} = \frac{ \rho \omega^{2}}{2} x^{2}$. (6)
С зачетом (1) окончательно имеем:
$y = \frac{ \omega^{2}}{2g}x^{2}$.
Уравнение поверхности жидкости представляет собой, следовательно, параболу. Отметим, что (5) может быть получено интегрированием.
Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$.
Решение:
рис.1
рис.2
Вертикальный и горизонтальный столбы жидкости, для которых запишем закон Ньютона, удобно выбрать так, как показано на рисунке.
Для вертикального столба в проекции на ось у имеем:
$P_{A}S - Sy \rho g - P_{0}S = 0$, (1)
где $Sy \rho$ — масса столба жидкости, $P_{0}S$ — вертикальная составляющая силы атмосферного давления (см. выше).
Записать закон Ньютона для всего горизонтального столба ОА невозможно, так как находящиеся на раз* личном расстоянии от точки О фрагменты столба имеют разные ускорения. Мы можем только сделать это для малого фрагмента столба; пусть координаты концов этого фрагмента равны $x_{i}$ и $x_{i} + 1$.
Ускорение центра фрагмента определяется формулой из кинематики вращательного движения:
$a_{i+1} = \frac{x_{i+1} + x_{i}}{2} \omega^{2}$, (2)
а закон Ньютона для фрагмента в проекции на ось х имеет вид:
$-P_{i+1}S + P_{i}S = - a_{i+1} \cdot m_{i+1}$, (3)
где $P_{i+1}S$ — сила давления со стороны прилегающей к фрагменту жидкости, направленная к центру вращения, $P_{i}S$ — сила, направленная от центра,
$m_{i+1} = S (x_{i+1} - x_{i}) \rho$.
Из (2,3) получаем:
$P_{i+1} - P_{i} = \frac{ \rho \omega^{2}}{2} ( x_{i+1}^{2} - x_{i}^{2})$. (4)
Разобьем весь столб жидкости на большое число $N$ фрагментов, запишем для каждого из них (4) и сложим получившиеся равенства почленно. После сокращений получим:
$P_{N} - P_{0} = \frac{ \rho \omega^{2}}{2} ( x_{N}^{2} - x_{0}^{2})$. (5)
Поскольку
$P_{N} = P_{A}; x_{N} = x$ и $x_{0} = 0$,
из (5) находим:
$P_{A} - P_{0} = \frac{ \rho \omega^{2}}{2} x^{2}$. (6)
С зачетом (1) окончательно имеем:
$y = \frac{ \omega^{2}}{2g}x^{2}$.
Уравнение поверхности жидкости представляет собой, следовательно, параболу. Отметим, что (5) может быть получено интегрированием.
