Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14367
2020-11-28 
Круглая дырка площадью $S_{0}$ в дне сосуда закрыта конической пробкой, сечение основы которой $S$ (рис.). При каком максимальном значении плотности пробки $\rho$ можно, доливая в сосуд воду, добиться всплытия пробки? Плотность воды $\rho_{0}$. Поверхностным натяжением пренебречь. Объем конуса с площадью основания $S$ и высотой $h$ $\frac{1}{2}hS$.
Решение:
На заштрихованную часть пробки (рис.) подъемная сила не действует, поскольку не существует давления жидкости на ее нижнюю и верхнюю поверхности, если уровень жидкости ниже основания пробки. Если же уровень жидкости выше основу пробки, то на эту часть пробки действовать дополнительная сила давления жидкости, которая будет прижимать пробку к отверстию.
Величина подъемной силы жидкости, действующего на незаштрихованую часть пробки, будет максимальной, когда уровень жидкости совпадает с основанием пробки. При доливке жидкости величина подъемной силы не меняется.
Величина этой подъемной силы можно найти по формуле
$F = \rho_{0} Vg$, где $V = \frac{1}{3} SH - \left ( S_{0} (H - h) + \frac{1}{3} S_{0}h \right )$.
Из подобия треугольников следует, что $\frac{h^{2} }{H^{2} } = \frac{S_{0} }{S}$, откуда $h = H \sqrt{ \frac{S_{)} }{S} }$. Подставив это значение $h$, получим
$F = \left ( \frac{1}{3} S - S_{0} \left ( 1 - \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) \right ) H \rho_{0}g$.
Для того, чтобы пробка всплыла, подъемная сила $F$ должна быть больше силу притяжения пробки, то есть $F = \frac{1}{3} SH \rho g$, или
$\left ( \frac{1}{3}S - S_{0} \left ( 1 - \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) \right ) H \rho_{0} > \frac{1}{3} SH \rho$,
откуда
$\rho < \frac{S - S_{0} \left ( 3 - 2 \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) }{S} \rho_{0}$.
Если $S - S_{0} \left ( 3 - 2 \left ( \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) \right ) \leq 0$, то пробка не всплывает при одном значении ее плотности.
Рассмотрим это условие подробнее, решив неравенство $\frac{S}{S_{0} } + 2 \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } - 3 \leq 0$. Обозначим $\sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } = x$, тогда получим $2x^{3} + 1 = 0$ или $(x-1)^{2} (2x + 1) \leq 0$.
Поскольку $x > 0$ (величины $S_{0}$ и $S$ всегда положительные, то получаем? что пробка не будет всплывать при каких угодно малых значениях ее плотности, если $x = 1$, то есть когда $S = S_{0}$, что соответствует цилиндрической пробке.
То, что такая пробка не может всплыть при доливке жидкости, совершенно ясно из рассмотренных выше соображений и без вычислений.
Круглая дырка площадью $S_{0}$ в дне сосуда закрыта конической пробкой, сечение основы которой $S$ (рис.). При каком максимальном значении плотности пробки $\rho$ можно, доливая в сосуд воду, добиться всплытия пробки? Плотность воды $\rho_{0}$. Поверхностным натяжением пренебречь. Объем конуса с площадью основания $S$ и высотой $h$ $\frac{1}{2}hS$.
Решение:
На заштрихованную часть пробки (рис.) подъемная сила не действует, поскольку не существует давления жидкости на ее нижнюю и верхнюю поверхности, если уровень жидкости ниже основания пробки. Если же уровень жидкости выше основу пробки, то на эту часть пробки действовать дополнительная сила давления жидкости, которая будет прижимать пробку к отверстию.
Величина подъемной силы жидкости, действующего на незаштрихованую часть пробки, будет максимальной, когда уровень жидкости совпадает с основанием пробки. При доливке жидкости величина подъемной силы не меняется.
Величина этой подъемной силы можно найти по формуле
$F = \rho_{0} Vg$, где $V = \frac{1}{3} SH - \left ( S_{0} (H - h) + \frac{1}{3} S_{0}h \right )$.
Из подобия треугольников следует, что $\frac{h^{2} }{H^{2} } = \frac{S_{0} }{S}$, откуда $h = H \sqrt{ \frac{S_{)} }{S} }$. Подставив это значение $h$, получим
$F = \left ( \frac{1}{3} S - S_{0} \left ( 1 - \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) \right ) H \rho_{0}g$.
Для того, чтобы пробка всплыла, подъемная сила $F$ должна быть больше силу притяжения пробки, то есть $F = \frac{1}{3} SH \rho g$, или
$\left ( \frac{1}{3}S - S_{0} \left ( 1 - \frac{2}{3} \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) \right ) H \rho_{0} > \frac{1}{3} SH \rho$,
откуда
$\rho < \frac{S - S_{0} \left ( 3 - 2 \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) }{S} \rho_{0}$.
Если $S - S_{0} \left ( 3 - 2 \left ( \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } \right ) \right ) \leq 0$, то пробка не всплывает при одном значении ее плотности.
Рассмотрим это условие подробнее, решив неравенство $\frac{S}{S_{0} } + 2 \sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } - 3 \leq 0$. Обозначим $\sqrt{ \frac{S_{0} }{S} } = x$, тогда получим $2x^{3} + 1 = 0$ или $(x-1)^{2} (2x + 1) \leq 0$.
Поскольку $x > 0$ (величины $S_{0}$ и $S$ всегда положительные, то получаем? что пробка не будет всплывать при каких угодно малых значениях ее плотности, если $x = 1$, то есть когда $S = S_{0}$, что соответствует цилиндрической пробке.
То, что такая пробка не может всплыть при доливке жидкости, совершенно ясно из рассмотренных выше соображений и без вычислений.
