ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-10-31   
Маленький шарик подвешен к кронштейну на тонкой невесомой нити, длина которой $l = 10 см$ (см. рис.). Какой будет наименьшая скорость $v_{0}$ шарика в горизонтальном направлении, чтобы он ударилась о кронштейн в точке подвеса?



Решение:



Пусть в т. А исчезает сила натяжения нити $T = 0$, то есть тело переходит с круговой на параболическую траекторию. Запишем второй закон Ньютона для тела в т. А в проекции на ось $OX^{ \prime}$:

$\frac{mv^{2} }{l} = mg \sin \alpha$,

отсюда $v^{2} = lg \sin \alpha$. (1)

Применим закон сохранения энергии для точек В и А:

$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + mgl (1 + \sin \alpha )$.

отсюда $v_{0} = \sqrt{ gl (3 \sin \alpha + 2 ) }$. (2)

Запишем уравнения движения для тела брошенного с т. А в системе отсчета $XOY$:

$x = x_{0} + v_{x}t = l \cos \alpha - vt \sin \alpha = 0$. (3)
$y = y_{0} + v_{y}t + \frac{g_{y}t^{2} }{2} = l \sin \alpha + vt \cos \alpha - \frac{gt^{2} }{2}= 0$. (4)

$x = 0, y = 0$ - условие попадания тела в т.O.

Из (3) получим: $t = \frac{l \cos \alpha }{v \sin \alpha }$,

а из (4): $t = \frac{v \cos \alpha + \sqrt{v^{2} \cos^{2} \alpha + 2l g \sin \alpha } }{g}$.

Из (1), (3), (4) следует:

$\frac{lg \sin \alpha \cos \alpha }{v \sin^{2} \alpha } = v \cos \alpha + \sqrt{v^{2} \cos^{2} \alpha + 2v^{2} }$. (5)

Решив уравнение (5), получим:

$\sin \alpha = \frac{ \sqrt{3}}{3}$.

Найденное значение подставим в (2):

$v_{0} = \sqrt{l( \sqrt{3} + 2 )g } = 1,9 м/с$.