Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14353
2020-10-31 
Металлический стержень длиной $L$ вращается вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню, с циклической частотой $\omega$. Найдите:
а) распределение напряженности электрического поля внутри стержня;
б) напряжение между концом и серединой стержня;
в) распределение электрического заряда в стержне.
Решение:
а) Перейдем в систему отсчета, которая вращающется.
Тогда внешние воздействия на электрон уравновесится $F_{e} = F_{в}$, где $F_{e} = eE_{x}$ - сила со стороны электрического поля, возникающая в стержне, $F_{в} = m \omega^{2}x$ - центробежная сила:
$eE_{x} = m \omega^{2}x, E_{x} = \frac{m \omega^{2}x }{e}$ (1)
б) Если электрическое поле однородно, то разность потенциалов для двух точек, лежащих на линии напряженности $\Delta \phi = E \Delta x$. Для неоднородного поля $d \phi = E_{x} dx$, тогда:
$U = \Delta \phi = \int_{0}^{L/2 } E_{x}dx = \int_{0}^{L/2} \frac{m \omega^{2}x }{e}dx = \frac{m \omega^{2}L^{2} }{8e}$.
в) Для определения распределения плотности заряда в стержне воспользуемся теоремой Остроградского-Гауса
$\oint_{S} \vec{E} d \vec{S} = \frac{q_{вн} }{ \epsilon_{0} }$
- поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность (в этом случае цилиндрическая поверхность АВСD) равна заряду ограниченному этой поверхностью разделенном на электрическую постоянную. Размеры цилиндрической поверхности выбираем малые, чтобы в границах этого цилиндра плотность заряда оставалась постоянной (рис.).
$\oint_{S} E dS = \Phi_{E} = E_{x + dx}S - E_{x}S = \left ( \frac{m \omega^{2}(x + dx) }{e} - \frac{m \omega^{2}x }{e} \right ) S = \frac{Sm \omega^{2}dx }{e} = \frac{q_{вн} }{ \epsilon_{0} } = \frac{ \rho_{x}Sdx }{ \epsilon_{0} }$,
Найдем плотность заряда в стержне:
$\rho_{x} = \frac{m \omega^{2} \epsilon_{0} }{e} = const$.
Запишем теорему Остроградского-Гаусса для края стержня (рис.) (извне стержня поле отсутствует):
$\Phi_{E} = - E_{L/2}S = \frac{ \sigma S }{ \epsilon_{0} }$,
Найдем поверхностную плотность заряда на торцах стержня:
$\sigma = - E_{L/2} \epsilon_{0} = - \frac{m \omega^{2}L \epsilon_{0} }{2e}$.
Металлический стержень длиной $L$ вращается вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню, с циклической частотой $\omega$. Найдите:
а) распределение напряженности электрического поля внутри стержня;
б) напряжение между концом и серединой стержня;
в) распределение электрического заряда в стержне.
Решение:
а) Перейдем в систему отсчета, которая вращающется.
Тогда внешние воздействия на электрон уравновесится $F_{e} = F_{в}$, где $F_{e} = eE_{x}$ - сила со стороны электрического поля, возникающая в стержне, $F_{в} = m \omega^{2}x$ - центробежная сила:
$eE_{x} = m \omega^{2}x, E_{x} = \frac{m \omega^{2}x }{e}$ (1)
б) Если электрическое поле однородно, то разность потенциалов для двух точек, лежащих на линии напряженности $\Delta \phi = E \Delta x$. Для неоднородного поля $d \phi = E_{x} dx$, тогда:
$U = \Delta \phi = \int_{0}^{L/2 } E_{x}dx = \int_{0}^{L/2} \frac{m \omega^{2}x }{e}dx = \frac{m \omega^{2}L^{2} }{8e}$.
в) Для определения распределения плотности заряда в стержне воспользуемся теоремой Остроградского-Гауса
$\oint_{S} \vec{E} d \vec{S} = \frac{q_{вн} }{ \epsilon_{0} }$
- поток напряженности электрического поля через замкнутую поверхность (в этом случае цилиндрическая поверхность АВСD) равна заряду ограниченному этой поверхностью разделенном на электрическую постоянную. Размеры цилиндрической поверхности выбираем малые, чтобы в границах этого цилиндра плотность заряда оставалась постоянной (рис.).
$\oint_{S} E dS = \Phi_{E} = E_{x + dx}S - E_{x}S = \left ( \frac{m \omega^{2}(x + dx) }{e} - \frac{m \omega^{2}x }{e} \right ) S = \frac{Sm \omega^{2}dx }{e} = \frac{q_{вн} }{ \epsilon_{0} } = \frac{ \rho_{x}Sdx }{ \epsilon_{0} }$,
Найдем плотность заряда в стержне:
$\rho_{x} = \frac{m \omega^{2} \epsilon_{0} }{e} = const$.
Запишем теорему Остроградского-Гаусса для края стержня (рис.) (извне стержня поле отсутствует):
$\Phi_{E} = - E_{L/2}S = \frac{ \sigma S }{ \epsilon_{0} }$,
Найдем поверхностную плотность заряда на торцах стержня:
$\sigma = - E_{L/2} \epsilon_{0} = - \frac{m \omega^{2}L \epsilon_{0} }{2e}$.
