Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14346
2020-10-31 
Космическая автоматическая станция вращается вокруг планеты Марс с периодом $T = 18 \: ч \: 00 \: мин$. Максимальное отклонение станции от поверхности Марса (в апоцентра) $a = 25000 км$, минимальное (в перицентре) $p = 1380 км$. Определите отношение массы Марса к массе Земли по указанным параметрам орбиты станции. Радиус Марса $R_{M} = 3400 км$, радиус Земли $R_{з} = 6400 км$.
Решение:
По третьему закону Кеплера отношение куба большой полуоси эллипса к квадрату периода обращения спутника величина постоянная. Определите эту константу (рис.).
Запустит спутник по круговой орбите радиусом $R$ вокруг планеты массой $M$
Второй закон Ньютона для движения по кругу:
$\frac{mv^{2} }{R} = \frac{ \gamma mM}{R^{2} }$. (1)
учтем: $v = \frac{2 \pi R}{T}$, (2)
тогда $\frac{2 \pi^{2}R^{2} }{T^{2}R } = \frac{ \gamma M}{R^{2} }$.
Найдем искомую константу:
$\frac{R^{3} }{T^{2} } = \frac{ \gamma M}{4 \pi^{2}} = const$. (3)
Для движения спутника вокруг Марса (рис.):
$R_{n} = p + R_{M}, R_{a} = a + R_{M}$,
отсюда $R = \frac{R_{p} = R_{a} }{2} = R_{M} + \frac{p + a}{2} = 16600 км$. (4)
Третий закон Кеплера для спутника Марса имеет вид:
$\frac{R^{3} }{T^{2} } = \frac{ \gamma M_{M} }{4 \pi^{2} }$. (5)
Запустит спутник вокруг Земли у самой ее поверхности и запишем третий закон Кеплера:
$\frac{R_{з}^{3} }{T_{з}^{2} } = \frac{ \gamma M_{з} }{4 \pi^{2} }$. (6)
Деля (5) на (6):
$\frac{M_{M} }{M_{з} } = \frac{R^{3}T_{з}^{2} }{R_{з}^{3}T^{2} }$. (7)
Период обращения спутника у поверхности Земли:
$T_{з} = \frac{2 \pi R_{з} }{v_{1} }$, (8)
где $v_{1} = \sqrt{R_{з}g }$ (9) - первая космическая скорость для Земли.
Подставим (9) в (8) и (7):
$\frac{M_{M} }{M_{з} } = \frac{4 \pi^{2}R^{3} }{gT^{2}R_{з}^{2} } = 0,1$.
Космическая автоматическая станция вращается вокруг планеты Марс с периодом $T = 18 \: ч \: 00 \: мин$. Максимальное отклонение станции от поверхности Марса (в апоцентра) $a = 25000 км$, минимальное (в перицентре) $p = 1380 км$. Определите отношение массы Марса к массе Земли по указанным параметрам орбиты станции. Радиус Марса $R_{M} = 3400 км$, радиус Земли $R_{з} = 6400 км$.
Решение:
По третьему закону Кеплера отношение куба большой полуоси эллипса к квадрату периода обращения спутника величина постоянная. Определите эту константу (рис.).
Запустит спутник по круговой орбите радиусом $R$ вокруг планеты массой $M$
Второй закон Ньютона для движения по кругу:
$\frac{mv^{2} }{R} = \frac{ \gamma mM}{R^{2} }$. (1)
учтем: $v = \frac{2 \pi R}{T}$, (2)
тогда $\frac{2 \pi^{2}R^{2} }{T^{2}R } = \frac{ \gamma M}{R^{2} }$.
Найдем искомую константу:
$\frac{R^{3} }{T^{2} } = \frac{ \gamma M}{4 \pi^{2}} = const$. (3)
Для движения спутника вокруг Марса (рис.):
$R_{n} = p + R_{M}, R_{a} = a + R_{M}$,
отсюда $R = \frac{R_{p} = R_{a} }{2} = R_{M} + \frac{p + a}{2} = 16600 км$. (4)
Третий закон Кеплера для спутника Марса имеет вид:
$\frac{R^{3} }{T^{2} } = \frac{ \gamma M_{M} }{4 \pi^{2} }$. (5)
Запустит спутник вокруг Земли у самой ее поверхности и запишем третий закон Кеплера:
$\frac{R_{з}^{3} }{T_{з}^{2} } = \frac{ \gamma M_{з} }{4 \pi^{2} }$. (6)
Деля (5) на (6):
$\frac{M_{M} }{M_{з} } = \frac{R^{3}T_{з}^{2} }{R_{з}^{3}T^{2} }$. (7)
Период обращения спутника у поверхности Земли:
$T_{з} = \frac{2 \pi R_{з} }{v_{1} }$, (8)
где $v_{1} = \sqrt{R_{з}g }$ (9) - первая космическая скорость для Земли.
Подставим (9) в (8) и (7):
$\frac{M_{M} }{M_{з} } = \frac{4 \pi^{2}R^{3} }{gT^{2}R_{з}^{2} } = 0,1$.
