ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-10-31   
Цилиндр (см. рис.) длиной $l$ перегорожен посередине тонким поршнем, масса которого $m$. В каждом отделении содержится по одному молю идеального газа при температуре $T$. Поршень немного сместился от середины цилиндра. Определите период малых колебаний поршня, считая, что они связаны с изотермическими процессами в газе.



Решение:



Запишем уравнение состояния:

$pV = \nu RT = RT$.

При отклонении поршня закон Бойля-Мариотта для каждого объема газа будет иметь вид:

$pV = p_{1}V_{1} = p_{1}(V - Sx)$,
$p_{1} = \frac{pV}{V - Sx}, pV = p_{2}V_{2} = p_{2}(V + Sx )$,

отсюда $p_{2} = \frac{pV}{V + Sx}$.

Запишем второй закон Ньютона для поршня в проекции на ось $OX$:

$ma = F_{2} - F_{1} = p_{2}S - p_{1}S = S \left ( \frac{pV}{V + Sx} - \frac{pV}{V - Sx} \right )$,

отсюда $a = \frac{pVS \cdot 2Sx}{m(V^{2} - (Sx)^{2} )} \approx - \frac{2RTS^{2} }{mV^{2} } x$.

Полученное уравнение описывает гармонические колебания с циклической частотой:

$\omega = \sqrt{ \frac{8RT}{ml^{2} } }$.

Период колебаний поршня:

$T = \frac{2 \pi }{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ml^{2} }{8RT}} = \pi \sqrt{ \frac{ml^{2} }{2RT} }$.