Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14325
2020-10-19 
Тонкое жесткое кольцо из диэлектрика массой $M$ и радиусом $R$ может свободно вращаться вокруг фиксированной вертикальной оси О (см. рис.). Кольцо равномерно заряженное по длине, его заряд равен $Q$. Небольшой участок кольца вблизи точки А вырезали так, что возникла щель длиной $l \ll R$. Сначала кольцо находилось в состоянии покоя, затем включили однородное электрическое поле с напряженностью $E$, перпендикулярной к оси кольца и прямой ОА. Определите максимальную угловую скорость кольца.
Решение:
Со стороны электрического поля на все элементы кольца действуют силы, создающих моменты сил относительно оси O. Но действие на произвольный заряд $q_{2}$, будет скомпенсировано действием на симметрично расположенным (см. рис.) таким же зарядом $q_{3}$. Нескомпенсированным останется воздействие на заряд $q_{1}$ (напротив выреза), кольцо начнет раскручиваться по часовой стрелке.
В момент прохождения зарядом $q_{1}$, точки А скорость кольца максимальная (после прохождения точки А момент силы, действующей на $q_{1}$ направлен против движения кольца и поэтому его скорость будет уменьшаться). Определите максимальную угловую скорость кольца, пользуясь теоремой о кинетической энергии. Работа $A_{el}$, которую осуществляет электрическое поле, равна изменению кинетической энергии вращательного движения кольца:
$\Delta E_{K} = E_{KA} = \frac{I_{0} \omega_{max}^{2} }{2}$.
Работа электрического поля не зависит от траектории движения заряда и для однородного поля равна:
$A_{E} = q_{1} \Delta \phi_{AC} = q_{1}ER$.
(Заряд $q_{1}$ переместился с эквипотенциальной поверхности CD (рис.) на эквипотенциальную поверхность КМ).
$\frac{I_{0} \omega_{max}^{2} }{2} = q_{1} ER$,
отсюда $\omega_{max} = \sqrt{ \frac{2q_{1}ER }{I_{0} } }$,
где $q_{1} = \frac{Ql}{2 \pi R^{2} }$ - заряд участка кольца напротив выреза.
$I_{0} = mR^{2}$ - момент инерции кольца относительно оси О.
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{QlE}{ \pi R^{2} m } }$ - максимальная угловая скорость кольца, что будет осуществлять колебания.
Тонкое жесткое кольцо из диэлектрика массой $M$ и радиусом $R$ может свободно вращаться вокруг фиксированной вертикальной оси О (см. рис.). Кольцо равномерно заряженное по длине, его заряд равен $Q$. Небольшой участок кольца вблизи точки А вырезали так, что возникла щель длиной $l \ll R$. Сначала кольцо находилось в состоянии покоя, затем включили однородное электрическое поле с напряженностью $E$, перпендикулярной к оси кольца и прямой ОА. Определите максимальную угловую скорость кольца.
Решение:
Со стороны электрического поля на все элементы кольца действуют силы, создающих моменты сил относительно оси O. Но действие на произвольный заряд $q_{2}$, будет скомпенсировано действием на симметрично расположенным (см. рис.) таким же зарядом $q_{3}$. Нескомпенсированным останется воздействие на заряд $q_{1}$ (напротив выреза), кольцо начнет раскручиваться по часовой стрелке.
В момент прохождения зарядом $q_{1}$, точки А скорость кольца максимальная (после прохождения точки А момент силы, действующей на $q_{1}$ направлен против движения кольца и поэтому его скорость будет уменьшаться). Определите максимальную угловую скорость кольца, пользуясь теоремой о кинетической энергии. Работа $A_{el}$, которую осуществляет электрическое поле, равна изменению кинетической энергии вращательного движения кольца:
$\Delta E_{K} = E_{KA} = \frac{I_{0} \omega_{max}^{2} }{2}$.
Работа электрического поля не зависит от траектории движения заряда и для однородного поля равна:
$A_{E} = q_{1} \Delta \phi_{AC} = q_{1}ER$.
(Заряд $q_{1}$ переместился с эквипотенциальной поверхности CD (рис.) на эквипотенциальную поверхность КМ).
$\frac{I_{0} \omega_{max}^{2} }{2} = q_{1} ER$,
отсюда $\omega_{max} = \sqrt{ \frac{2q_{1}ER }{I_{0} } }$,
где $q_{1} = \frac{Ql}{2 \pi R^{2} }$ - заряд участка кольца напротив выреза.
$I_{0} = mR^{2}$ - момент инерции кольца относительно оси О.
$\omega_{max} = \sqrt{ \frac{QlE}{ \pi R^{2} m } }$ - максимальная угловая скорость кольца, что будет осуществлять колебания.
